In the first part of the lecture I discuss some of the notions of entropy of automorphisms of C*- and von Neumann algebras. The second part will be devoted to the variational principle in the setting of asymptotically abelian C*-algebras.

Es werden die neuen Möglichkeiten vorgestellt, mit denen Professoren und Mitarbeiter Ankündigungen auf der Homepage des Instituts einrichten können.

Die metrische Projektion im $l_1(n)$ auf einen linearen Unterraum U besitzt eine global Lipschitz-stetige, stückweise lineare Extremalpunktselektion. Diese wird beschrieben durch einen zu U "`passenden"' Unterraum, der Eindeutigkeitsraum ist und durch interaktives Stören aus U entsteht. Allerdings existieren i.A. mehrere derartige Selektionen, die i.A. eine unterschiedliche Anzahl an Linearitätsbereichen haben. Nach einem Überblick über die wichtigsten Eigenschaften dieser Störung stellen wir einen Algorithmus vor, der das Ziel hat, die Anzahl der Linearitätsbereiche zu minimieren.

{\bf Gemeinsame Veranstaltung mit AG Geometrische Analysis } Die globale Weierstrass-Darstellung wird benutzt um das Variationsproblem des Willmore-Funktionals in ein Variationsproblem mit Zwangsbedingungen auf dem Raum der Fermikurven von zweidimensionalen Dirac-Operatoren mit periodischen Potentialen zu transformieren. Diese Dirac-Operatoren sind die Lax-Operatoren eines integrablen Systems, und ihre Fermikurven sind die entsprechenden Integrale der Bewegung. Das erste Integral der Bewegung entspricht gerade dem Willmore-Funktional. Zur Lösung des transformierten Variationsproblems wird dann gezeigt, dass die Teilmengen des Moduliraums aller solchen Fermikurven, deren erstes Integral beschränkt ist, kompakt sind. Außerdem ist dieser Moduliraum eine Mannigfaltigkeit über dem Banachraum $\ell_1$ (bezüglich einer anderen Topologie). Daraus kann dann gefolgert werden, dass das transformierte Variationsproblem ein Minimum besitzt und alle lokalen Minima, deren Willmore-Funktional kleiner als $8\pi$ ist, klassifiziert werden. Das Minimum wird gerade von der Fermikurve angenommen, die dem Clifford-Torus entspricht.

Betrachtet werden die Glattheiten, die von homogenen Funktionen erzeugt sind. Die zugehörigen Begriffe wie z. B. Funktionenräume, K-Funktionale und deren Realisierungen werden im Zusammenhang mit Fragen der Approximation durch trigonometrische und bandbegrenzte Funktionen in den Räumen $L^p$ mit $0,p\le +\infty$ im mehrdimensionalen Fall untersucht.

Das ausführliche Programm finden sie unter http://www.mi.uni-erlangen.de/~echterm/sophus

Das ausführliche Programm finden sie unter http://www.mi.uni-erlangen.de/~echterm/sophus

45-Minuten-Gespräch

Professor G. Schmeisser, Erlangen : "Polynome zwischen Algebra und Analysis" Professor H. Heineken, Würzburg: "Färbungsprobleme bei Tapeten"

Ein sehr ausführlicher Abstract steht unter http://www.mi.uni-erlangen.de/~keller/anosov-abstract.pdf zur Verfügung.

Vortrag im Rahmen der Reine "Perspektiven in Algebra und Geometrie"\par Abstrakt. Sei G eine endlichen Gruppe. Eine lokale Untergruppe ist der Normalisator einer nicht-trivialen p-Untergruppe von G. In der gegenwärtigen lokalen Theorie der endlichen Gruppen kann man zwei Methoden unterscheiden, die halbeinfache und die unipotente. Beiden gemeinsam aber ist das Ziel, ein Geometrie zu identifizieren, auf der die Gruppe treu operiert. In meinem Vortrag gebe ich Einblick in diese beiden Methoden und die Geometrien, die dabei auftreten.

P. Plaumann, Erlangen: "Monothetic Algebraic Groups"\par W. Holubowski , Gliwice: "Representations of free groups by infinite upper triangular matrices"

E. Blagovedshchenskaya (St. Petersburg, z.Z. Erlangen), "Structure and Duality Links between Almost Completely Decomposable Groups and their Endomorphism Rings"\par Alexander A. Fomin (Moskau), "Some categories of abelian groups"

A. Kollross, Augsburg: "Polar Actions and Symmetric Spaces" \par K. Strambach, Erlangen: "Imprimitive Permutationsgruppen, die auf den Blöcken hoch Transitiv operieren".

In my talk I will discuss a new discretization concept for abstract control problems with control constraints which extends the common discrete approaches. Discretization only is applied to the state variables, which in turn implicitly yields a discretization of the control variables by means of the first order optimality condition. For discrete controls obtained in this way an optimal error estimate in terms of the state-discretization parameter is presented. Applied to control of partial differential equations combined with finite element discretization of the state the key features of the new control concept include: \par decoupling of finite element grid and discrete active set -- numerical implementation requires only small additional overhead compared to commonly utilized methods (discretization of state AND of admissible controls) -- Approach applicable in 1,2 and 3 spatial dimensions, and also for Galerkin type discretization schemes of time dependent state equations -- Numerical analysis seriously simplifies compared to the common approach \par As numerical solution algorithms primal-dual active set strategies and semi-smooth Newton methods are discussed. Several numerical examples will be presented that confirm the theoretical investigations. \par References : M. Hinze: A generalized discretization concept for optimal control problems with control constraints, Preprint Math--NM--02-2003, Institut für Numerische Mathematik, TU Dresden, Germany.

Sie setzt nur Kenntnisse von Analysis I und elementarer Zahlentheorie voraus.

Sie setzt nur Kenntnisse von Analysis I und elementarer Zahlentheorie voraus.

The problem of solving equations over groups, and the problem of description of their solutions sets, are very important in group theory (for example, classical word problem and conjugacy problem are questions about decidability of equations of a very specific type). When investigating equations over groups we introduce analogues of the basic notions from classical algebraic geometry (algebraic sets, Hilbert's Nullstellensatz, Noether Normalization theorem, dimension of a variety and so on) over arbitrary groups. For a free group a lot of interesting results have been already obtained. In our papers (with A. Miasnikov) in the Journal of Algebra (1998) we classified irreducible algebraic sets in $F^n$ for a free group $F$. \par These studies played the crucial role in my work with A. Miasnikov solving positively two old questions (raised by A. Tarski around 1945) whether the elementary theory of non-abelian free groups of different ranks coincide (also proved by Z. Sela), and whether it is decidable.

In meinem Vortrag stelle ich für Geschlecht $\le 3$ einen Algorithmus zur Konstruktion von Kurven (über endlichen Körpern) vor, deren Jacobische komplexe Multiplikation mit einem gegebenen Endomorphismenring hat. Dies hat Anwendungen in der Kryptographie.

Der Unterring $R$ eines Schiefkörpers $D$ heißt Kettenring, falls $a\in D\backslash R$, dann $a^{-1}\in R$ impliziert; die Rechtsideale (Linksideale) von $R$ bilden eine Kette. \\[1mm] Ist so ein Ring $R$ zusätzlich invariant, das heißt es gilt $aR=Ra$ für alle $a\in R$, dann ist $R$ der Bewertungsring, der zu einer Bewertungsfunktion von $D^*$ in eine geordnete Gruppe gehört. $R$ hat Rang $1$, falls das maximale Ideal $J=J(R)$ von $R$ das einzige vollprime Ideal $\neq(0)$ von $R$ ist. \\[1mm] {\bf Satz:} Ein Kettenring $R$ vom Rang $1$ ist entweder invariant, fast einfach, wobei $R,J,(0)$ die einzigen Ideale von $R$ sind, oder außergewöhnlich, wobei $R$ ein nicht vollständiges Primideal $Q$ besitzt. \\[1mm] Mit Hilfe gewisser Unterhalbgruppen der Überlagerungsgruppe der $SL(2,\bR)$ und eines Einbettungssatzes für Gruppenringe über gewisse rechtsgeordnete Gruppen in Schiefkörper werden Beispiele konstruiert für jede der unendlich vielen Klassen in die die Klasse der außergewöhnlichen Rang $1$ Kettenringe zerfällt. \\[1mm] Dies sind Resultate einer Zusammenarbeit mit H.\ Dubrovin, die in den TAMS erscheinen werden. \\[8mm]

We investigate the structure of the global maximizers of stochastic interdependence, which is measured by the Kullback-Leibler divergence of the underlying joint probability distribution from the exponential family of factorizable random fields (multi-information). As a consequence of our structure results, it comes out that random fields with globally maximal multi-information are contained in the topological closure of the exponential family of pair interactions.

In this talk I report on joint work with Reiner Sch\ätzle, Bonn. We are interested in fourth order geometric evolution equations which arise as gradient flows associated to a curvature functional. Specifically, the D.\ Bernoulli energy for elastic bending of an immersed curve $f\colon I\to {\bf R}^2$ is given by \[ E(f)=\int_I\kappa^2\, ds\, , \] where $\kappa$ is the curvature and $ds$ is the length element of $f$. Assuming the length of the curve is fixed, the heat flow will converge (up to translations) to a critical point, which is either a circle or a lemniscate. For immersed surfaces $f\colon\Sigma\to {\bf R}^3$, the relevant functional is the Willmore integral \[ {\cal W}(f)=\int_\Sigma H^2\, d\mu\, \] where $H$ is the mean curvature and $\mu$ is the induced area measure of $f$. In contrast to the one-dimensional case the corresponding flow may develop singularities. However, an initial sphere of energy at most $8\pi$ will always converge to a round sphere (of energy $4\pi$). The main tools for proving this result, which is optimal with regard to the bound $8\pi$, are small energy a priori estimates and a theorem on removability of isolated singularities in Willmore surfaces.

A. Ballester Bolinches(Valencia), " On critical finite groups" \par M. Valsecchi(Erlangen), "Theorems of Wieland and algebraic groups"

Die numerische Simulation von Aussenraumproblemen bei Navier-Stokes-Gleichungen stellt für die Numerik eine sehr grosse Herausforderung dar. Sowohl wegen der viskosen Termen der Navier-Stokes- Gleichungen als auch der Inkompressibilitätsbedingung, die in unserem Kontext vorausgesetzt wird, werden bekanntlich riesige Rechengebiete zur akkuraten Simulation derartiger Probleme benötigt. Die resultierenden diskreten Probleme können - wenn überhaupt - meist nur auf Grossrechnern behandelt werden. In diesem Vortrag werden neue Techniken vorgestellt, die es erlauben, die Grösse solcher Probleme drastisch zu reduzieren. Die Hauptpfeiler des vorgeschlagenen Ansatzes sind: - Künstliche adaptive Randbedingungen - Implizite Behandlung der hydrodynamischen Kräfte bzw. des Moments in der variationellen Formulierung - A posteriori Fehlerkontrolle - Hydrodynamische Stabilität

Abstract: The quantum Shannon-McMillan theorem demonstrates the significance of the von Neumann entropy for translation invariant ergodic quanyum spin systems on Z-lattices: the entropy gives the logarithm of the essential number of eigenvectors of the system on large blocks. In the Quantum Information Theory, where information sources are modelled by quantum spin systems, the theorem is basic for data compression.

In diesem System der Hamiltonschen Mechanik bewegt sich ein Massepunkt im Gravitationsfeld von n ortsfesten Massepunkten. Betrachtet wird die Bewegung für positive Energie. Für n\ge 3 ist die (topologische) dynamische Entropie positiv, und das System ist in folgendem Sinn nicht integrabel: Es existieren außer der Energie keine weiteren analytischen Konstanten der Bewegung. Man findet aber für alle g>1 Konstanten der Bewegung der Gevreyklasse g (Gevreyklassen sind wichtige Klassen unendlich oft differenzierbarer Funktionen; analytische Funktionen entsprechen g=1 !). Es wird vermutet, dass vergleichbare Phänomene auch in anderen dynamischen Systemen auftauchen.

Given a nontrivial free homotopy class of loops in a closed connected Riemannian manifold and a compactly supported time-dependent Hamiltonian on the open unit disk cotangent bundle, which is bounded above over the zero section by minus the shortest length of periodic geodesics in the class, we prove existence of a 1-periodic orbit representing the given class. The proof shows that the Biran-Polterovich-Salamon (BPS) capacity is finite for every closed connected Riemannian manifold and every free homotopy class of loops. This immediately implies a dense existence theorem for periodic orbits on level hypersurfaces and, consequently, a refined version of the Weinstein conjecture: Existence of a closed characteristic in every nontrivial free homotopy class.

When looking for regularity properties of solutions of variational problems and dealing with vectorial cases, one naturally encouters solutions which exhibit singular sets, i.e.: sets where solutions loose their regulatity properties. I will briefly address the problem of discovering how large such sets can be.

Bei der Beschreibung eines isolierten physikalischen Systems in der Allgemeinen Relativitätstherie wird man auf natürliche Weise zu dreidimensionalen asymptotisch flachen Hyperflächen von Lorentz-Mannigfaltigkeiten geführt, die aufgrund der Einsteinschen Feldgleichungen gewisse Einschränkungen an ihre Krümmung erfüllen. Es ist dann eine zentrale Herausforderung, geometrische Strukturen in dieser dreidimensionalen Mannigfaltigkeit zu identifizieren, die den klassischen physikalischen Konzepten wie Energie und Impuls entsprechen. Der Vortrag beschreibt geometrische Konzepte für die Energie eines isolierten Systems und erklärt Anwendungen auf klassische Fragestellungen der konformen Geometrie wie das Yamabeproblem.

Die Fundamentalgruppe und die universelle Ueberlagerung einer algebraischen Mannigfaltigkeit sind in den letzten 10 Jahren intensiv studiert worden. Zentral ist die sog. Shafarevitch-Vermutung, die eine Konvexitaetseigenschaft der universellen Ueberlagerung postuliert. Besonders interessant ist die Frage, inwieweit die universelle Ueberlagerung bzw. die Fundamentalgruppe schon Aussagen ueber die globale Struktur der Varietaet zulassen, insbesondere Aussagen ueber die Kodairadimension. Und umgekehrt: was kann ueber die Fundamentalgruppe von bestimmten Klassen von Varietaeten gesagt werden. Zur zweiten Frage kann man z.B. sagen, dass eine i.w. semi-positiv gekruemmte Varietaet eine fast abelsche Fundamentalgruppe hat. In meinem Vortrag gehe ich insbesondere auf die erste Frage ein und skizziere, wie man aus Aussagen ueber die universelle Ueberlagerung (z.B. Stein) Informationen ueber die Varietaet selbst erhalten kann. Hierbei spielt das Cotangentialbuendel eine zentrale Rolle.

H. Heineken, Würzburg: "Zentrum und Norm"\par A. di Bartolo, Palermo/Erlangen: "Chains of Dimension 3"

10.30 Uhr Doris Wagner, Erlangen: Homogene Ovale in p-adischen Ebenen\par 11.30 Uhr Dieter Jungnickel, Augsburg: Neo-Differenzmengen\par \par 12.30 Mittagspause\par \par 14.15 Uhr Peter Müller, Heidelberg: Permutationsgruppen, Zahlentheorie und Geometrie\par \par 15.15 Kaffeepause\par \par 15.45 Uhr Nils Rosehr, Würzburg: Stabile Graphen und verallgemeinerte Polygone\par

Vortrag im Rahmen der Reihe "Perspektiven in Algebra und Geometrie"

We consider some generalizations of the germ-grain growing model studied by Daley, Mallows and Shepp (2000). In this model, a realization of a Poisson process on a line with points Xi is fixed. At time zero simultaneously at each Xi a circle (grain) starts growing at the same speed. It grows until it touches another grain, and then it stops. The question is whether the point zero is eventually covered by some circle. The answer, which is slightly intriguing, is e 1, and e 1/2 if one considers this model only on a half-line R+ and asks what the probability is that the origin is covered. We expand this model in the following directions. We study: (1) a one-sided growth model with a fixed number of circles; (2) grain-growth model on a regular tree; (3) grain-growth models on a line with centers of the circles distributed according to an ordinary renewal process; and (4) grain-growth models on the positive real line where the circles start growing or stop growing at random times.

We consider a simple random walk on Zd, d 3, in a random field of traps, the density of which tends to zero at infinity. In the problem we consider the annealed case, where the traps are updated each unit of time. By using Lyapunov functions, we formulate su cient conditions that the expected time to absorbtion, that is, untill the random walk hits a trap, is finite and su cient conditions that the expected time to absorbtion is infinite.

In his preprint ''On the combinatorics and dynamics of iterated rational maps", Princeton, 1985, W.P. Thurston developed the theory of invariant laminations. He studied connections between the dynamics of complex polynomials on their Julia sets and the dynamics of the map $\sigma_d(z)=z^d$ on the unit circle. The following notion was introduced in the preprint: a set $A_0=\{x_0,y_0,z_0\}$ on the unit circle is called a "wandering triangle (for $\sigma_d$)" if the following holds: (1) each set $\sigma_d^n(A_0), n=0,1,...$ consists of three distinct points, (2) the convex hulls of all sets $\sigma_d^n(A_0), n=0,1,...$ in the unit disk are pairwise disjoint. Thurston proved in his preprint that $\sigma_2$ admits no wandering triangles. This result was important for his classification of quadratic (invariant under $z^2$) laminations. He also asked if wandering triangles exist for $\sigma_d, d>2$. We obtain the following result. Theorem: For any $d>2$ there exist uncountably many $\sigma_d$-invariant laminations with wandering triangles.

S. Joachim, Würzburg: "Regulatorketten in Butlergruppen"\par P. Plaumann, Erlangen: "Monothetische algebraische Gruppen".

Agota Figula, Erlangen : Auflösbare Bol-Loops \par Theo Grundhöfer, Würzburg : Quasi-Endomorphismen abelscher Gruppen

Hinweis: am 08.07.2004 findet kein Vortrag statt, anstatt dessen gibt es am 15.07. zwei Vorträge.

Schon seit mehr als 100 Jahren interessieren sich Algebraische Geometer für die Frage, wieviele Singularitäten m(d) eine Fläche von gegebenem Grad d im projektiven Raum haben kann Varchenko und Miyaoka haben zwar allgemeine obere Schranken für diese Zahl angegeben, doch selbst im ,,einfachsten'' Fall gewöhnlicher Doppelpunkte ist m(d) nur bis zu d=6 bekannt. m(6)=65 wurde von W.~Barth durch Angabe eines konkreten Beispieles gezeigt, m(8) und m(12) von seinen Studenten St.Endraß bzw. A.Sarti abgeschätzt. Im Vortrag wird zunächst erläutert, wie man mit Hilfe von Computer Algebra Experimenten in endlichen Körpern gute Konstruktions-Ideen bekommen kann indem man eine Familie von Flächen durchsucht. In einigen Fällen kann dann auch schon direkt mit Hilfe des Computers ausgerechnet werden, welche Elemente der Familie besonders viele Singularitäten enthalten. Dies nutzen wir aus, um eine Fläche vom Grad 6 mit 35 Cusp- Singularitäten zu konstruieren; das zuvor bekannte Maximum war 30, und die kleinste bekannte obere Schranke ist 37. Im verbleibenden Teil des Vortrages wird erläutert, wie man die experimentellen Ergebnisse über endlichen Körpern weiter ausnutzen kann, um auch in Fällen, in denen das direkte Ausrechnen aus Rechenzeit-Gründen nicht funktioniert, viele geometrische Einsichten über die zu konstruierende Fläche zu erlangen.

15:00 Uhr c.t. Helmut Kramer, Würzburg: Inzidenzmatrizen endlicher projektiver Ebenen \par 16:00 Uhr c.t. R. Caserta, Erlangen: Involutive Loops

We use Dirichlet form methods to construct and analyze a reversible Markov process whose stationary distribution is the Brownian continuum random tree. This process is inspired by the subtree pruning and regrafting (SPR) Markov chain that appears in phylogenetic analysis. A key technical ingredient in this work is the use of a Gromov--Hausdorff type distance to metrize the space whose elements are compact real trees equipped with a probability measure.

A local field is any locally compact, non-discrete field other than the real or complex numbers. The most well-known example is the field of p-adic numbers. Although these objects first arose in number theory, they have since found applications as far afield as numerical analysis and quantum field theory. We propose a natural analogue of the Gaussian measures on vector spaces over a local field and discuss the structure of certain random matrices with local field entries. This work has connections with classical identities for q-series, particularly the non-commutative q-binomial theorem, and a Markov chain appears that was first considered by Fulman in his probabilistic proof of the Rogers-Ramanujan identities.

Das Auftreten seltsamer nicht-chaotischer Attraktoren in quasiperiodisch getriebenen Systemen ist in zweierlei Hinsicht bemerkenswert, weil es zeigt, dass seltsame Attraktoren sowohl in nicht hyperbolischen Systemen als auch in Verbindung mit nicht-chaotischer Dynamik auftreten können. Darüberhinaus legen numerische Untersuchungen nahe, dass sie eine besondere Rolle bei der Verzweigung invarianter Tori spielen und häufig in sogenannten `nicht-glatten' Sattel- und Heugabel-Verzweigungen auftreten. Dies ist meist von einem sehr charakteristischen Verhalten der invarianten Kurven vor der Verzweigung begleitet, welches sich als `Exponentielle Entwicklung von Peaks' beschreiben lässt. Basierend auf dieser Beobachtung lässt sich die Existenz von SNA über den Nachweis spezieller `Attraktor-Repellor-Orbits' zeigen. Darüberhinaus wird eine detaillierte Beschreibung von Sattelverzweigungen in gewissen Parameterfamilien quasiperiodisch getriebener Intervallabbildungen gegeben.

Markov-Prozesse lassen sich auf verschiedene Weisen konstruieren: Am gebräuchlichsten ist wohl ihre Konstruktion aus den Übergangswahrscheinlichkeiten, aber auch ein gefärbter gerichteter Graph führt auf natürliche Weise zu einem Markov-Prozess. Der zweite Zugang lässt sich in den Kontext der nichtkommutativen Operatoralgebren ausdehnen und damit in die Quantenmechanik übertragen. Die Dynamik eines solchen Markov-Prozesses erlaubt eine Zerlegung in einen freien Anteil und eine Störung, sie wird somit streutheoretischen Betrachtungen zugänglich. Es zeigt sich, dass für klassische Markov-Prozesse die streutheoretische Eigenschaft der asymptotischen Vollständigkeit äquivalent ist zur kodierungstheoretischen Eigenschaft der Existenz eines synchronisierenden Wortes. Dies ermöglicht eine Übertragung der Idee des synchronisierenden Wortes in die Quantenmechanik, die genutzt werden kann zur Präparation von interessanten Quantenzuständen für die Quanteninformationsverarbeitung.

Although quantum tunneling between phase space tori occurs, it is suppressed in the semiclassical limit h -> 0 for the Schrödinger equation of a particle in R^d under the influence of a smooth periodic potential. In particular this implies that the distribution of quantum group velocities near energy E converges to the distribution of the classical asymptotic velocities near E, up to a term of the order O(1/sqrt(E)). (Report on joint work with Joachim Asch)

O. Bleetz-Siebert (Würzburg), "Hilbert-Geometrien"\par P. Plaumann (Erlangen), "Isogenien unipotenter Gruppen"

Es wird ein einfacher und konzeptueller Zugang zur Analysis von Anomalien von zufaelligen Produkten von SL(2,R) Matrizen vorgestellt. Bisher waren diese vor allem im Anderson Modell bekannt, und mathematisch nicht vollstaendig kontrolliert. Die Hauptzielsetzung ist die Berechnung des Lyapunov-Exponenten. Hierbei spielt ein gewisser Fokker-Planck Operator auf dem Einheitskreis eine zentrale Rolle.

Ausgangspunkt des Vortrages ist ein Resultat (Theorem 2) aus dem Artikel ''The longtime behavior of branching random walk in a catalytic medium'' von A. Greven, A. Klenke und A. Wakolbinger. Dort wird nachgewiesen, daß \, der katalytische Verzweigungsprozeß $(\eta_t, \xi_t)_{t\geq 0}$ --unter bestimmten Bedingungen-- auf $\mathbb{Z}$ lokal ausstirbt, d.h. es gilt $$ \mathcal{L}[(\eta_t, \xi_t)] \stackrel{w}{\longrightarrow} \delta_0\otimes \mathcal{H}_{\theta},$$ wobei $\mathcal{H}_\theta$ ein Poisson-System mit Intensität $\theta$ bezeichnet. Die Fragestellung lautet nun, wie sich der katalytischen Verzweigungsprozeß \, $(\eta_t, \xi_t)_{t\geq 0}$ im Langzeitlimes auf der hierarchischen Gruppe $\Xi$ verhält. Führt die spezielle Geometrie des ultrametrischen Raumes $\Xi$ zu einer qualitativen Änderung im Langzeitlimes? Oder dominiert die (starke) Rekurrenz der Irrfahrtenkerne das Geschehen, und es zeigt sich ein ähnliches Verhalten wie im euklidischen Fall? Im Laufe des Vortrages werden diese Fragen beantwortet, und im Anschluß daran werden noch offene Fragen angesprochen, welche sich aus Überlegungen im Artikel '' Degrees of transience and recurrence and hierarchical random walks'' von D.A. Dawson, L.G. Gorostiza und A. Wakolbinger ergeben.

R. Caserta (Erlangen), Konstruktionsmethoden von Loops als Schnitt einer einfachen Gruppe\par A. Mader (Honolulu), Regularität in Endomorphismenringen

Ein diskretes stochastisches Modell einer räumlich ausgedehnten Zellpopulation mit lokalen Wechselwirkungen wird vorgestellt, das sowohl adhäsives Verhalten als auch persistente Zellbewegung beschreibt und trotzdem analytisch bearbeitet werden kann. Die biologische Motivation ist durch Steinbergs Differenzielle Adhäsionshypothese gegeben. Darin wird behauptet, dass zufällige Zellbewegung und unterschiedlich starke Bindungskräfte zwischen einzelnen Zelltypen zu einer Aussortierung der einzelnen Zelltypen führen. Das Langzeitverhalten des stochastischen Vielteilchensystems wird analysiert und die Beziehungen zur statistischen Mechanik werden diskutiert. Es wird gezeigt, dass sich die zeitliche Entwicklung des Vielteilchensystems als Zellsortieren interpretiern lässt. Die Rolle der Persistenz wird angesprochen und es wird diskutiert, inwiefern Persistenz das Verhalten des Systems beeinflusst.

Convex dynamics are derived from the greedy algorithm on the error diffusion problem. Consider a convex polytope P (i.e. compact intersection of finitely many half spaces in the affine space A modelled on R^d, or a convex hull of finitely many points in A) and the set C of its vertices (extreme points). For a sequence \gamma_n\in P (inputs) define the map: Let x\in R^d, then F_n(x)=x+(\gamma_n-Vor(x)) where Vor(x)\in C is the corner of P closest (in Euclidean distance) to x (Voronoi point). It was recently proven ( Adler, Kitchens, Martens, Pugh, Shub, Tresser, Wu) that for any bounded set of initial starting points x such dynamics have a bounded invariant set independent on the sequence \gamma. We proved (with Charles Tresser) several properties of such invariant set 1. It is (essentially) independent on the tie-breaking rules on the medians (borders of Voronoi regions) 2. It always contains the polytope itself and the extremities of the Voronoi regions. 3. Its convex hull is invariant and it is a union of convex hulls of its parts in each Voronoi regions. The problem is related to the best way of printing the full palette of colors (the polytope) using only a few number of basic ones (RGB or CMY) (the corners) with the on-line algorithm (ie we do not know what color is coming next to the printer). Similar problems arise in scheduling when one has to decide how to switch the mode of a device when different demands accumulate.

K. Strambach (Erlangen), "Imprimitive Permutationsgruppen, die auf den Blöcken 2-fach transitiv sind"\par N. Rosehr (Würzburg), "Moore-Graphen"

Edge reinforced random walks were introduced in the eighties by Persi Diaconis. In the talk, I will describe recent results on linearly edge-reinforced random walks on a two-dimensional lattice and on infinite ladders: Representation as a random walk in a dependent random environment, and bounds for the random environment. The relevant random environment has a complicated dependence structure; it is given by a marginal of an infinite-volume Gibbs measure. This Gibbs measure is analyzed using entropy estimates and deformation arguments from equilibrium statistical mechanics.

I will state the Hodge cojecture in general and discuss its meaning. Then I will describe abelian varieties of Weil type and what the Hodge conjecture means in their case. In the case of abelian fourfolds, the Hodge conjecture only needs to be proved for those of Weil type. Finally, I will describe an inductive approach to the Hodge conjecture which mostly applies to abelian varieties of Weil type.

Wegen der gleichzeitig stattfindenden Vorstellungsvorträge wird die Veranstaltung auf die kommende Woche verschoben

If $\Gamma$ is a random variable with values in a compact matrix group $K$, then the traces $\text{\rm Tr}(\Gamma^j)\ (j \in {\mathbb N})$ are real or complex valued random variables. As a crucial step in their approach to random matrix eigenvalues Diaconis and Shahshahani computed the joint moments of any fixed number of these traces if $\Gamma$ is distributed according to Haar measure and if $K$ is one of $\text{\rm U}_n,\ \text{\rm O}_n$ or $\text{\rm Sp}_n$, where $n$ is large enough. In the orthogonal and symplectic cases, their proof is based on work of Ram on the characters of Brauer algebras. In this talk an alternative proof of these moment formulae will be presented. It invokes classical invariant theory (specifically, the tensor forms of the First Fundamental Theorems in the sense of Weyl) to reduce the computation of matrix integrals to a counting problem, which can be solved by elementary means.

Im Vortrag werden mehrfache gitterförmige Kreisanordnungen betrachtet. Wir behandeln die folgenden Probleme: \par 1) Die dichtesten gitterförmigen p-fachen Kreispackungen. 2) Die dünnsten gitterförmigen q-fachen Kreisüberdeckungen. 3) Die Dicke von -Punktgitter. 4) Die Enge von mehrfachen gitterförmigen Kreispackungen. 5) Die Lockerheit von mehrfachen gitterförmigen Kreisüberdeckungen. \par Zur Lösung der Probleme wird eine entsprechende Klassifizierung der Gitter nach Gitterkreisen angegeben.

Im Vortrag behandeln wir wohlbekannte Sätze und Aufgaben der hyperbolischen Geometrie, deren Beweise mit der entsprechenden Wahl des Modelles der hyperbolischen Geometrie einfach werden. Einige Aufgaben: 1. Die Schwerlinien eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt. 2. Es sei ABCDEF ein rechtwinkliges Sechseck in der hyperbolischen Ebene. Die Geraden $t_1, t_2, t_3$ sind die gemeinsamen Senkrechten der Seiten AB und DE, BC und EF bzw. CD und AF. Behauptung: a) $t_1, t_2, t_3$ bilden ein Geradenbüschel. b) Z.B. der Schnittpunkt von AD und BC liegt auf $t_1$. Die Beweise sind mit der Wahl der entsprechenden Modelle ganz elementar (fast in der Mittelschule).

Ultrakalte Atome in optischen Potentialen erlauben es, viele Modellsysteme der Physik kondensierter Materie auf kontrollierte Weise zu realisieren. In diesem Vortrag berichte ich über unsere Ergebnisse zur Theorie der Lokalisierung von atomaren Materiewellen in optischen Speckle-Potentialen. Insbesondere berechnen wir die Korrektur der sogenannten schwachen Lokalisierung zum diffusiven Regime in 2D und bestimmen den Übergang zum stark lokalisierten Regime in Abhängigkeit von den experimentell relevanten Parametern.

F. Bloch(Würzburg), Iterierte kubische Quersummen \par A. Figula(Erlangen), Loops, die semidirekte Produkte von Gruppen sind

Die Tagung wird am Sonntag, den 17.7.2005 fortgesetzt

Kolloquium Regensburg - Erlangen

Kolloquium Regensburg - Erlangen

Kolloquium Regensburg - Erlangen

We consider the space of metric measure spaces, i.e., the space (of measure preserving isometry classes) of complete and separable metric spaces which are equipped with a probability measure. An abstract notion of convergence in distribution is given in such a way that provided tightness convergence is equivalent to convergence of all randomly sampled finite subspaces. We characterize all compact sets and derive then a characterization of tightness. Since trees form a particular subclass of metric spaces, as an example, we apply the so far abstract theory to show that the suitably rescaled spatially structured coalescent tree converges towards the non-spatial counterpart which is the Kingman coalescent tree.

Given a self-adjoint Markov semigroup $e^{-tA}$ satisfying an ultracontractivity bound of the type $||e^{-tA}||_{2\rightarrow\infty}\le e^{m(t)}$, we find conditions on the sequence ||A^nf||_2^{1/n}$ that imply that $f$ is a bounded function. Sobolev's classical embedding theorem says that, when $A$ is the Laplase operator on $R^d$, ||A^nf||_2 < \infty$ for some $n>d/4$ suffises to imply that $f$ is bounded. In the cases we are interested in, the desired condition involves the whole sequence $||A^nf||_2^{1/n}$ and depends on the behavior of the ultracontractivity function $m$. As an example, which motivated our research, we consider symmetric Levy generators on $R^1$ and more generally on Abelian groups.

Infinite systems of linearly interacting diffusions exhibit interesting critical phenomena at the transition between stable behavior (when the drift is attractive) and unstable behavior (hwne the drift is repulsive). Some of these systems, such as the Ornstein-Uhlenbeck process, the super random walk, or the stepping stone model, for which special tools are available, have been studied a lot and are now well-understood. Other systems can be studied by comparison with these classical models. Yet other systems again, which seem to fall in new, hitherto unknown `universality classes', still pose severe mathematical challenges. In this talk, we will see how a renormalisation technique for systems indexed by the hierarchical group can be used to investigate the different classes of models of linearly interacting diffusions. The class of `catalytic Wright-Fisher diffusions' will serve as a special example.

At the first meeting I presented the cone field method and its application to planar hyperbolic billiards. This time I will discuss hyperbolic billiards on surfaces of constant curvature. I will give a simple criterion for hyperbolicity and will use it to construct different classes of billiards on sphere (and hyperbolic plane) with completely chaotic dynamics. Then (if time allows) I will show a certain dynamical connection between billiards on spheres and planar billiards in the presence of homogeneous magnetic field. This can be used to formulate a simple hyperbolicity criterion for magnetic billiards as well. Note: I will repeat all essential points from the first talk. So newcomers would be able to understand.

15 Uhr: Kaffee, SE 106\par 15:15 Martin Hintermeier, Würzburg: Arithmetische Äquivalenz von Geschlecht 0 Funktionenkörpern\par 16:30 Raffaello Caserta: Quasi-split extension of a finite left loop by a finite group\par \par Abfahrt 13:30 vom Foyer des Mathematischen Instituts.

It is widely believed that classical GKS-inequalities known for ferromagnetic Ising and plane rotator models - spin variables are taken on the zero and one dimensional unit sphere - should also hold for ferromagnetic Heisenberg models - dimension two and higher. Generally speaking, the obstacle to extend existing approaches for lower to higher dimensions is the existence of negatively correlated observables. We would like to describe an alternative approach which works in every dimension.

A symmetric block triagonal matrix with positive definite blocks on the off-diagonals is by definition a Jacobi matrix with matrix entries. Transfer matrix techniques are extended in order to develop a rotation number calculation for its eigenvalues. This involves the Möbius action of the transfer matrices on the maximal boundary of the Siegel disc. The proof uses Arnold's cocycle for the calculation of the Maslov index. For Jacobi matrices with random matrix entries, this leads to formulas for the integrated density of states which can be calculated perturbatively in the coupling constant of the randomness with an optimal control on the error terms.

This talk is divided into two parts. In the first part, we present an abstract resolvent approach to the stability of the essential spectrum of a strongly continuous semigroup in a Hilbert space when its generator is perturbed by a bounded operator. In the second part, the result is applied to study the time asymptotic behavior of solutions to neutron transport equations.

15:15 Peter Plaumann, Erlangen: Moufang Loops von endlichem Exponenten\par 16:30 Peter Mutzbauer, Würzburg: Torsionsgruppen elliptischer Kurven über rationalen Funktionenkörpern \par

We present a solution to the inverse scattering problem for differential Laplace operators on metric noncompact graphs. We prove that for almost all boundary conditions (i) the scattering matrix uniquely determines the graph and its metric structure, (ii) the boundary conditions are determined uniquely up to trivial gauge transformations. The main ingredient of our approach is a combinatorial Fourier expansion of the scattering matrix which encodes the topology of the graph into analytic properties of the scattering matrix. Using the technique developed in this work, we also propose an analytic approach to solving some combinatorial problems on graphs, in particular, the Traveling Salesman Problem.

We consider the parabolic Anderson model \partial_t u= \Delta u + Vu on \bR \times \bZ^d with initial condition $u(0,x)=1$. Here $\Delta$ is the discrete Laplacian and $V=\{V(x):x \in \bZ^d\}$ is an i.i.d. random field taking values in $\bR$ . The relevant phenomenon with respect to the large-time behavior of u(t,x) is intermittency. On a qualitative level, intermittent random fields can be characterized by the appearance of sparsely distributed sharp ``peaks''. These intermittency peaks give the main contribution to the formation of the statistical moments and determine the correlation structure. The latter quantities are extensively studied in the stochastics literature using path integral methods and the theory of large deviations. The parabolic Anderson model is also closely connected to the theory of Anderson localization. The large-time behavior of the statistical moments and the correlation structure correspond to the asymptotics of the integrated density of states and to properties of localized eigenstates. Our aim is to study the relation between the stochastic and the spectral theoretic point of view with respect to these quantities

15 Uhr: Kaffee \par 15:15 John Cossey: Embedding properties of quasinormal subgroups of finite groups \par 16:30 Karl Strambach: Algebraische Gruppen und Liealgebren mit wenigen Faktoren \par Abfahrt 13:30 vom Foyer des Mathematischen Instituts in Erlangen.

Achtung: Der Vortrag wird ev. auf den 4. Juli verschoben

Mourre's commutator theory is a powerful tool to study the continuous spectrum of self-adjoint operators and to develop scattering theory. We propose a new approach of its main result, namely the derivation of the limiting absorption principle from a so called Mourre estimate. We provide a new interpretation of this result.

Es werden generische Eigenschaften von Massen auf lokalkompakten metrischen Raeumen studiert. Das liefert eine (leichte) Verallgemeinerung des "Wonderland Theorem" von Simon ueber singulaer stetiges Spektrum gewisser Schroedinger Operatoren. Als Anwendung werden Operatoren auf Delone Mengen untersucht. Diese Operatoren beschreiben sogenannte geometrische Unordnung. Es wird gezeigt, dass ihr Spektrum generisch ein singulaer stetige Komponente besitzt. (Gemeinsame Arbeit mit Peter Stollmann, TU Chemnitz)

Consider a Schroedinger operator with a short range potential in euclidian space. Roughly speaking, Levinson's theorem relates the number of its bound states to the integral over the time delay of the scattering system. Various corrections have to be taken into account, however, e.g. a proper regularisation of the integral or extra constants due to 0-energy resonances. The theorem is usually shown using complex analysis. We propose another approach which views it as an index theorem (via K-theory). This has two advantages: first it exhibits the topological nature of the theorem, and second, it more naturally explains the corrections needed. This is joint work with Serge Richard.

The Anderson model is well known as the solution to the Cauchy problem for the Anderson Hamiltonian. By specifying the model such that the underlying spatial structure is the hierarchical group and the random potential is an i.i.d. white noise field one gets a countable system of Ito stochastic differential equations (SSDE) indexed by the hierarchical group. The solution of this SSDE is an infinitely dimensional interacting diffusion. In our talk we will review what is known about the usual issues considered in this context, particularly the existence and uniqueness of a solution to the SSDE and its ergodic properties. We will also present some of our own results which are specific for the hierarchical Anderson model. Here the focus will be on a Varadhan variational expression for the annealed Lyapunov exponents as well as on questions of existence of the moments.

I review results obtained with G. Panati, C. Sparber and H. Spohn concerning the effective dynamics of a single quantum particle in a slowly perturbed periodic potential. They lead to corrections to the effective Hamiltonian obtained from Peierls' substitution and to the so called ßemiclassical model of solids". These corrections have a geometrical origin and add to a quantitative understanding of phenomena like Piezoelectricity or the integer quantum Hall effect.

A falling cat, dropped from upside down preserves zero angular momentum. Miraculously, by changing their shapes cats are able to land on their feet. The theory of falling cats turns out to be pure geometrical: The angle by which cats are reoriented is given by the holonomy in the space of their shapes. Similarly, swimming of light objects (e.g., microorganisms) in a classical liquid can be described by a geometric theory. As in the case of falling cats, the problem here is that of computing holonomy in a certain gauge theory. As we show, slow swimming in a quantum media is geometric as well. The distance covered by swimmers in each stroke is determined by the paths of the scattering matrices in a space of controls. Remarkably, for zero temperature Fermi gas the resulting connection gives rise to a quantized motion: at each stroke swimmer propagates by half integer multiples of the Fermi length. Joint work with J. Avron and D. Oaknin.

For operators with homogeneous disorder, it is generally expected that there is a relation between the spectral characteristics of a random operator in the infinite setup and the distribution of the energy gaps in its finite volume versions, in corresponding energy ranges. Whereas pure point spectrum of the infinite operator goes along with Poisson level statistics, it is expected that purely absolutely continuous spectrum would be associated with gap distributions resembling the corresponding random matrix ensemble. We prove that on regular rooted trees, which exhibit both spectral types, the eigenstate point process has always Poissonian limit. However, we also find that this does not contradict the picture described above if that is carefully interpreted, as the relevant limit of finite trees is not the infinite tree graph but rather what is termed here the canopy graph. For this tree graph, the random Schroedinger operator is proven to have only pure-point spectrum at any strength of the disorder.

Arbarello and Cornalba proved the unirationality of Hurwitz spaces which parametrize equivalence classes of simple coverings of $P^1$ of degree 4 or 5. I will talk on generalizations of this theorem to coverings of degree $d=3$, 4 or 5 of irrational curves. Another theme will be the applications of these results to Siegel modular varieties. Using appropriate Prym maps it was proved the unirationality of the varieties $A_3(1,1,d)$ and $A_3(1,d,d)$ for $d=2,3,4$ and it is a work in progress the proof of the unirationality in the case $d=5$.

15 Uhr: Kaffee \par 15:15 Moishe Jarden, Tel Aviv: Die absolute Galoisgruppe des Körpers der total S-adischen Zahlen \par 16:30 Daniel Plaumann, Konstanz: Positivität und Quadratsummen von Polynomen \par Abfahrt in Erlangen: 13:30 vom Foyer des Mathematischen Instituts.

We consider variations of the usual voter model, which favor types that are locally less common. Such voter models with selection are dual to systems of branching annihilating random walks that are parity preserving. We consider coexistence of types in the voter models which is related to the survival of particles in the branching annihilating random walk. We find conditions for the uniqueness of a homogeneous coexisting invariant law as well as for convergence to this law from homogeneous and coexisting initial laws. For a particular one dimensional model we also show a complete convergence result for any initial condition. This is based on comparison with oriented percolation of the associated branching annihilating random walk. This is joint work with Jan Swart (UTIA Prague).

Topological questions about group manifolds started the theory of Hopf algebras in the 40ies. These tools became prominent under the name `quantum groups' in physics in the 80ies. I review the relation between groups, Lie algebras, and Hopf algebras and the modern approch to representation theory using representation categories. Emphasis will be on the structural relation between mathematical modelling and applications using for example symmetric functions.

The existence of a Local-Hidden-variable (LHV) Model for a quantum state implies that the expectation value of arbitrary observables can be described by means of a classical probabilistic model. Our interest is directed towards a general description of the class of two-party quantum states admitting the description by an LHV model. In particular, we use Grothendieck's theory of norms on tensor products of Banach spaces to identify this class as the unit ball of a certain Banach space.

Siehe http://www.mi.uni-erlangen.de/~keller/ulmer-kolloq.pdf

We study rank one perturbation of self-adjoint operators and give bounds on averages of spectral measures for semi-infinite Jacobi matrices and give criteria which guarantee existence of mixed spectral types for coupling parameters in set of positive Lebesgue measure.

Während die Dynamik des geodätischen Flusses auf Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung durch Arbeiten von Anosov, Bowen, Margulis und vielen anderen Mathematikern gut erforscht ist, sind fundamentale Fragen für schwach hyperbolische Flüsse, wie den geodätischen Fluss auf einer Mannigfaltigkeit nicht positiver Krümmung, offen. Ziel dieses Vortrags ist es, einen Überblick über den Stand der Forschung auf diesem Gebiet zu geben. Im einzelnen werden wir folgende Punkte behandeln: 1. Volumenwachstum von geodätischen Bällen in der universellen Überlagerung 2. Wachstumsrate und Verteilung von geschlossenen Geodätischen. Eindeutigkeit des Maßes maximaler Entropie. 3. Ergodizitätseigenschaften des geodätischen Flusses.

Deterministische Dynamische Systeme führen bei zufälliger bzw. nicht exakt bekannter Wahl der Anfangsbedingungen zu stochastischen Prozessen, die i.a. nicht die klaren (Un-)Abhängigkeitsstrukturen klassischer Prozesstypen aufweisen. Der Vortrag widmet sich speziell null-rekurrenten Situationen (unendliches invariantes Maß) und bietet einen einführenden Überblick (Beispiele solcher Systeme, ergodentheoretische und stochastische Eigenschaften), sowie einen kurze Ausblick auf aktuelle Fragen.

We study the regularity of molecular eigenfunctions near the singularities of the many-body Coulomb potential. The results obtained have been used to prove that the corresponding electron density is real analytic away from the positions of the nuclei. They are also essential ingredients in studying the density in the vicinity of the nuclei; we prove the existence of the third derivative of the spherical average of the density at a nucleus, and discuss its sign. We also discuss positivity and decay of the spherical average. This is joint work with S. Fournais (University of Aarhus & CNRS), and M. and T. Hoffmann-Ostenhof (Vienna).

ACHTUNG: Dieser Termin der AG Mathematische Physik liegt mit Mathematischen Kolloquium zusammen.

Tilings have been studied for a long time due to their fascinating beautyand symmetry properties. However it is only during the last fifteen years that topology has been introduced to investigate some of their global properties. This review talk will introduced the notion of "Hull" or "Tiling Space", and will focus on an important subclass of tilings, that are "repetitive" and have "finite local complexity" (FLC). It will describe various topological invariant such as its C*-algebra, its K-group, and various equivalent definition of its cohomology. It will provide the latest results obtained to compute such invariants and give the so-called "gap labeling theorem" in full generality. If time allows it, some extra informations will be provided about a class of tilings, including the pinwheel model, which have not a finite local complexity but exhibit either extra symmetries, or "fault lines". This may be an efficient way of describing real materials. Part of this talk concerns a recent joint work with Jean Savinien (Gatech).

Henry Poincare, in his creation what we now call dynamical systems theory,sought for the relationship of all possible trajectories of a differential equation giving rise to a geometrical approach that was concerned with geometrical structures and their role in organizing all trajectories into regions corresponding to qualitatively different types of trajectories. In the past 15 years his approach of a qualitative theory was substantially extended to random dynamical systems and time-varying dynamical systems. In this talk we give an overview of the theory, some of its methods and present an application to a fluid dynamical problem, the merging process of two vortices.

Interacting many-particle systems of Bosons have been studied widely in the physics and mathematics literature. They pose hard mathematical problems, which have been attacked by a variety of methods. We outline how a stochastic analysis of interacting Brownian motions via large deviations techniques leads to effective descriptions of large systems of Bosons and how it raises new mathematical questions. The starting point are systems of Brownian bridges under certain initial distributions, which are linked via Feynman-Kac formulae to traces of quantum mechanical density matrices. We study the large particle limits of random measures like the mean of occupation or the mean of path measures. We will outline how the specific symmetry for systems of Bosons can be implemented in the stochastic model. We will show a large deviations principle for path measures in cycles of integer partitions. We will discuss an empirical path measure phase transition and its interpretation as Bose-Einstein condensation.

An explosion is a global bifurcation in a family of iterated maps in which there is a discontinuous change in the size of the set of recurrent points as a parameter is varied. Explosions can lead to crises of chaotic attractors in two dimensions, and unstable dimension variability in three dimensions. I give a classification of explosions for interval maps. It proves the validity in one dimension of a 1976 conjecture of Newhouse and Palis, which says that explosions generically occur as a result of either saddle-node bifurcations or of tangencies of stable or unstable manifolds of periodic points.

ACHTUNG: Dieser Termin der AG Mathematische Physik liegt mit Mathematischen Kolloquium zusammen.

Vortrag anläßlich der Emeritierung von Prof.Dr. K. Strambach

Vortrag anläßlich der Versetzung in den Ruhestand von Prof.Dr. H. Kurzweil

I shall discuss, taking as a model example elliptic problems with measure data, how the classical theory of Calderon-Zygmund can be carried out beyond those which are traditionally considered as borderline cases.

We establish a limiting absorption principle for some long range perturbations of the Dirac systems at threshold energies. We cover coulombic interaction with small coupling constants. Our analysis is reduced to the study a familly of non-self-adjoint operators. To study them, we develop an abstract theory of positive commutators suitable for non-self-adjoint operators.

Let $F$ be a threefold. A construction due to $A$. Weil associates to $F$ a complex torus $J(F)$ called the intermediate Jacobian of $F$. In the case where $F$ is a smooth cubic of $P^4$, the intermediate Jacobian is a principally polarized Abelian variety that has the role in the analysis of curves on $F$ similar to the role of the Jacobian variety $J(C)$ in the study of divisors on a curve $C$.\\[2ex] We will recall these facts and then outline the computation of the period lattice of the intermediate Jacobian of the Klein cubic threefold $F = {x1 x22+x2 x32+x3 x42+x4 x52+x5 x12 = 0}$. We will show the differences and the analogy between this calculation and the calculation of the period lattice of a Jacobian of a curve with a large automorphism group. The Fano surface that parametrizes the lines on $F$ has many interesting properties and we will study this surface in details.

Sei $\pi:Z\rightarrow X$ eine Galois-Überlagerung glatter projektiver Kurven mit Galoisgruppe die Weylgruppe einer einfachen, einfach zusammenhängenden Liegruppe $G$. Für jedes dominante Gewicht $\lambda$ betrachte die Kurve $Y=Z/Stab(\lambda)$. Die Kanev-Korrespondenz definiert eine abelsche Untervarietät $P_\lambda$ der Jacobischen von $Y$. Es soll der Typ der Polarisierung der Restriktion der kanonischen Prinzipal-Polarisierung von Jac$(Y)$ auf $P_\lambda$ in einigen Fällen berechnet werden. Speziell im Fall der Gruppe $E_8$ erhält man Familien von Prym-Tyurin-Varietäten. Die Hauptidee ist die Benutzung einer Abelianisierungsabbildung von der Donagi-Prym-Varietät in den Modulstack der prinzipalen $G$-Bündel auf der Kurve $X$. (Gemeinsame Arbeit mit Christian Pauly).

Titel

In dieser Zulassungsarbeit beschäftige ich mich mit dem Thema „Lernen an Stationen“. Zum einen gehe ich dazu auf die Theorie zum offenen Unterricht und zum Lernen an Stationen ein. Zum anderen habe ich konkret ein Stationenlernen über Exponentialfunktionen erstellt. Nachdem ich mich viereinhalb Jahre lang in meinem Studium vor allem mit Mathematik und Physik, also mit zwei naturwissenschaftlichen Fächern, beschäftigt habe, hat es mir nun richtig Spaß gemacht, mich in den Theorieteilen dieser Zulassungsarbeit intensiv mit einem eher geisteswissenschaftlichen Thema zu befassen. Während bisher in den Vorlesungen und Übungsaufgaben meines Mathematikstudiums hauptsächlich die formale Ausdrucksweise der Mathematik im Vordergrund stand, spielt nun bei dieser Zulassungsarbeit das sprachliche Formulieren und Argumentieren eine große Rolle. Dies habe ich als sehr abwechslungsreich und angenehm empfunden.

I will explain a geometrical approach, developed with David Hasler and Wolfgang Spitzer, for proving the existence of absolutely continuous spectrum for random Schrödinger operators graphs. This method was originally applied to the Anderson model on a tree, and has recently been extended to models that are close to being one dimensional and contain large loops.

Wir definieren einen nichtperturbativen diskreten Renormierungsfluss für eine sehr allgemeine Klasse d--dimensionaler ($d \geq 2$), nichtrelativistischer, fermionischer Gittermodelle mit schwacher Kopplung. Diese Klasse enthält insbesondere das Hubbard-Modell. Neu hier ist die Tatsache, dass die Fermiflächen dynamische Objekte sind, sodass man auf Gegenterme für das IR-Problem verzichten kann. Wir zeigen anhand dieser Methode die Eindeutigkeit des invarianten KMS--Zustandes, die $C^d$--Regularität der wechselwirkenden Fermiflächen, und dass die elektronische Dichte durch Wahl des chemischen Potentials fixiert werden kann, solange die nicht verschwindende Kopplung im Bezug zur Temperatur genügend klein ist. Für 2--dimensionale Modelle, die strikt positiv gekrümmte freie Fermiflächen besitzen, wird gezeigt, dass das System bei Temperaturen $T > T_0 \exp(-|\frac{const}{\lambda}|)$, wobei $\lambda$ die Kopplungskonstante ist, Fermiflüssigkeitsverhalten aufweist. $const$ hängt stark von der Klasse des Modells ab. Insbesondere divergiert sie, wenn die Zustandsdichte bei der (freien) Fermifläche divergiert (van-Hove-Instabilität).

Die Virtuelle Fachbibliothek Mathematik hat zum Ziel, die Recherche nach mathematisch relevanter Information wesentlich zu erleichtern. Sie soll als ''One-stop-shop'' der gedruckten und elektronischen Fachinformation zu einem zentralen Fachportal ausgebaut werden. Das Projekt wird finanziell durch die DFG gefördert. Der Vortrag stellt das Angebot vor und zeigt Recherchewege auf.

The talk will describe a detailed study of discrete one- dimensional Schroedinger operators whose potential is supported on a finite number of sites. In this case one can explicitly compute all the important objects of spectral theory: eigenvalues and eigenfunctions, resolvent, resonances, and spectral measures. Using this we derive a formula for the solution of the time-dependent equation, in terms of eigenvalues and resonances, which sheds light on the meaning of resonances with respect to the dynamics of the Schroedinger eqaution.

Wir betrachten isometrische Gruppenwirkungen auf den mit einer biinvarianten Riemannschen Metrik versehenen kompakten Liegruppen vom Typ G2, F4, E6, E7 und E8. Wir sind dabei vor allem an polaren Wirkungen interessiert, d.h. solchen, bei denen eine Untermannigfaltigkeit existiert, die von allen Bahnen der Gruppenwirkung senkrecht geschnitten wird. Für solche Wirkungen wird eine vollständige Klassifikation angegeben. Außerdem werden Klassifikationsresultate für Wirkungen von niedriger Kohomogenität vorgestellt.

Es wird der Begriff der mehrdimensionalen Verträglichkeit von diskreten Systemen diskutiert, der als neue konstruktive Definition der Integrabilität betrachtet werden kann, sowie als Grundlage zur Klassifizierung solcher Systeme. Es werden einige Beispiele und Anwendungen gegeben, unter anderem in der diskreten Differentialgeometrie sowie in der diskreten Funktionentheorie.

Der hier vorgestellte Lernkrimi richtet sich an Schüler der 5. und 6. Klasse Gymnasium. Die in ihm zu bearbeitenden Aufgaben lehnen sich am Lehrplan für diese Jahrgangsstufen an. Daneben findet man aber auch Knobelaufgaben. Um ein breites Publikum anzusprechen, sind die Schwierigkeitsgrade der Aufgaben gemischt. Die Endfassung des Buches ist so geplant, dass der Fließtext durcheinander gebracht wird. Am Ende eines solchen Abschnittes befindet sich jeweils eine Aufgabe, durch deren richtige Lösung dem Leser verraten wird, auf welcher Seite weiter gelesen werden muss. Dazu ist ein Schlüssel, der am Ende des Buches angefügt wird, nötig, der den Ergebnissen der Aufgaben Seitenzahlen zuordnet. Fester Bestandteil des Krimis sind auch die Lösungen der Aufgaben. Diese sollen jedoch nur zur Kontrolle oder wenn man gar nicht mehr weiter weiß als letzte Chance dienen. Denn das Buch hätte seinen Zweck wohl verfehlt, wenn die Schüler nicht versuchen würden selbständig die Aufgaben zu lösen. Der Krimi kann sowohl im Unterricht als auch in der Freizeit genutzt werden. Wichtig ist, dass er Spaß bringt und man dennoch lernt.

A Lie group $G$ acts on its Lie algebra $\mathfrak{g}$ and its dual $\mathfrak{g}^*$ via the adjoint and the coadjoint actions. The importance of coadjoint orbits in representation theory was mainly emphasized by the famous ``orbit method'' initiated by A. Kirillov 40 years ago. When $\mathfrak{g}$ has finite dimension, an interesting problem is to determinate the dimension of the locally closed set of linear forms $f\in \mathfrak{g}^*$ whose codimension is $2m$, for any integer $m$. Recently, Kirillov considers the case of upper triangular matrices in positive characteristic [1].\\ In this talk, we focus on the reductive case. In this case, the problem reduces to compute the dimension of the {\it sheets}. These sheets are known to be parametrized by the pairs $(\mathcal{I},\mathcal{O})$, up to $G$-conjugation classes, of a Levi subalgebra $\mathcal{I}$ and a nilpotent {\it rigid} orbit $\mathcal{O}$ in $\mathcal{I}$. Using this parametrization, we provide a complete answer in this case [2].\\ References:\\ [1] A.A. Kirillov: Two more variations on the triangular theme. In {\it The orbit method in geometry and physics (Marseille, 2000)}, volume 213 of {\it Progr. Math.}, pages 243-258. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 2003\\ [2] A. Moreau: On the dimension of the sheets in a reductive Lie algebra. {\it arXiv:math.RT/07112735v2}, 2007

Zu den mathematisch anspruchsvollen Aufgaben in der Arzneimittelforschung gehört die Analyse von Biosignalen (EKG, EEG, Aktionspotentiale, Bewegung) zur Messung des Einflusses von Wirksubstanzen auf komplexe Systeme (Herz, Gehirn, Signalleitung, Verhalten). Über zwei solche Projekte soll berichtet werden: "`Modelle zur Elektrophysiologie des Herzens: Anspruch und Nutzbarkeit. (Chaos im Herzen?)"' und "`Mäuseschlaf und dessen Modellierung"'.

In this talk I am going to report on some recent results, obtained in collaboration with L. Erdos and H.-T. Yau, concerning the dynamics of Bose-Einstein condensates. In particular I am going to present a rigorous derivation, from first principle quantum dynamics, of a nonlinear Schroedinger equation, known as the Gross-Pitaevskii equation, for the time-evolution of the condensate wave function.

For a every pair (g,f) of a complex simple Lie algebra g and its nilpotent element f one associates the corresponding W-algebra W(g,f), which is a vertex algebra. In the case that g=sl(N) and f is its principal nilpotent element W(g,f) is the W_N algebra introduced by Zamolodchikov and Fateev-Lukyanov. The vertex algebra W(g,f) can be also considered as a chiralization of the corresponding finite W-algebra.\\ In my talk I will talk about the connection between the representation theory of W-algberas and that of affine Kac-Moody algebras, and in particular, about the recent conjectures of Kac and Wakimoto.

We show how moment graphs can be used to link the topology of affine flag varieties to the representation theory of modular Lie algebras. We then give a new proof of Lusztig's conjecture for almost all primes. Moreover, the moment graphs allow us to prove the multiplicity one case of Lusztig's conjecture for all primes above the Coxeter number, which is so far the only instance that is proven for all relevant fields.

Let G be a connected reductive group over an algebraically closed field K of characteristic 0, X an affine symplectic variety equipped with a Hamiltonian action of G. Further, let * be a G-invariant Fedosov star-product on X such that the Hamiltonian action is quantized. We establish an isomorphism between the center of the associative algebra K[X][[h]]^G and the algebra of formal power series with coefficients in the Poisson center of K[X]^G.

This is a report on joint work with Michael Bate, Benjamin Martin and Rudolf Tange. Let G be a reductive linear algebraic group over an algebraically closed field of characteristic p > 0. A subgroup of G is said to be separable in G if its global and infinitesimal centralizers have the same dimension. We study the interaction between the notion of separability and Serre's concept of G-complete reducibility for subgroups of G. The separability hypothesis appears in many general theorems concerning G-complete reducibility. Though many of these results fail without this hypothesis, we prove that if G is a connected reductive group and p is very good for G, then any subgroup of G is separable; we deduce that under these hypotheses on G, a subgroup H of G is G-completely reducible provided the Lie algebra of G is semisimple as an H-module. Recently, Guralnick has proved that if H is a reductive subgroup of G and C is a conjugacy class of G, then the intersection of C and H is a finite union of H-conjugacy classes. For generic p -- when certain extra hypotheses hold, including separability -- this follows from a well-known tangent space argument due to Richardson, but in general, it rests on Lusztig's deep result that a connected reductive group has only finitely many unipotent conjugacy classes. We show that the analogue of Guralnick's result is false if one considers conjugacy classes of n-tuples of elements from H for n > 1.

Deligne-Lusztig varieties play an important role in the representation theory of finite groups of Lie type. The notion of affine Deligne-Lusztig variety is the analog in the setting of an affine root system. These varieties arise in the study of the reduction of Shimura varieties in positive characteristic, but are also of independent interest. Even their ``combinatorial properties'' (such as their dimension) are much harder to understand than those of usual Deligne-Lusztig varieties. In my talk, I will explain recent results obtained in joint work with Haines, Kottwitz, and Reuman.

Let e be a nilpotent element in an n-dimensional simple Lie algebra g over complex numbers whose orbit under the adjoint group of g has dimension 2d(e). Let k be an an algebraically closed field of characteristic p>0 and let g_k be the Lie algebra over k of the same type as g. If char(k) is good and g_k \admits a nondegenerate trace form, then one can naturally associate with e a linear function \chi on g_k whose stabiliser has dimension n-2d(e). Let U_\chi(g_k) denote the reduced enveloping algebra of g_k associated with the linear function \chi. In my talk I'll establish a link betweeen 1-dimensional representations of finite W-algebras U(g,e) and irreducible U_\chi(g_k)-modules of dimension p^{d(e)}.

Game (Israeli) options which I introduced in 2000 extend the setup of American options by allowing their issuer to call them back (cancel) paying certain penalty for that. Pricing of such options leads to Dynkin's optimal stopping games. In a series of papers, partially with Y.Dolinsky, we studied error estimates for binomial approximations of prices, shortfall risks and corresponding hedging strategies for usual and barrier type game options which provide via dynamical programming recurrent formulas an effective way of their computations. Similar and sometimes stronger results follow for American options even in a simpler way yet providing new results even in this heavily studied case. The methods rely on the Skorokhod embedding of sums of i.i.d. random variables into the Brownian motion and on the risk representation via the dynamical programming scheme in the discrete time case while the barrier options require also to take care about discontinuities of the payoffs. In the multidimensional case where Skorokhod's embedding does not work we should employ other strong approximation methods.

The averaging setup arises in the study of perturbations of dynamical systems with constants of motion which give rise to a combination of fast and slow motions. Such problems emerged initially in celestial mechanics and they lead to complicated multiscale equations. Classical averaging setup deals mainly with perturbations of integrable Hamiltonian systems but considering perturbations of families of hyperbolic and expanding dynamical systems, among them some of nonintegrable Hamiltonian systems, we arrive at stochastic behaviour of the slow motion which cannot be observed in the classical framework. Among motivations for such study are some models of climate-weather interactions where climate is viewed as a slow and weather as a fast chaotic motion. We discuss mainly large deviations of the slow motion from the averaged one which lead to a probabilistic type description of its very long time (adiabatic) behaviour such as exits from neighborhoods of attractors of the averaged motion and rare transitions between them. Even perturbations of simple families of expanding maps of the interval where computer simula- tions are easy to perform yield interesting nontrivial problems some of them still unanswered.

Die vorliegenden Arbeit befasst sich mit einem Beispiel für ein mögliches Projekt im Mathematikunterricht. Das Projekt „Geometrie im Gelände – Ein Vermessungsprojekt in der Jahrgangsstufe 6 der bayerischen Realschule“ wurde nach der Methode nach Matthias Ludwig geplant. Außerdem enthält der Text Begründungen für den Geometrieunterricht im Gelände und dessen didaktische Grundsätze. Das Thema wird eingegrenzt und beschrieben, wozu auch eine Einordnung in den Lehrplan, geforderte und geförderte mathematische Kompetenzen und Leitideen sowie die Festlegung der Lernziele gehören. Es folgt die Darstellung eines möglichen Durchführungsplans für dieses Projekt sowie die Beschreibung der tatsächlichen Vermessung durch die Autorin und die Auswertung der Ergebnisse.

Let $G$ be a polyhedral group, namely a finite subgroup of SO(3). Nakamura's G-Hilbert scheme provides a preferred resolution of singularities $Y$ of ${\bf C}^3/G$. The McKay correspondence describes the geometry of $Y$ in terms of the representation theory of $G$. Let $G~$ in SU(2) be the binary version of $G$ and $X$ the minimal resolution of ${\bf C}^2/G^~$. I will present a beautiful compatibility between the McKay correspondences for $X$ and $Y$ : a map from $X$ to $Y$ contracting exactly those exceptional curves which correspond to representations of a $G^~$ not coming from representations of $G$. This is a joint work with Alessandra Sarti.

Nach dem Satz von Kazdan-Margulis sind die Volumina von n-dimensionalen hyperbolischen Quotienten nach diskreten Gruppen von Isometrien universell durch eine positive Konstante nach unten beschränkt. Für $n=2$ ist dies das bekannte $\,\pi/42\,$- Theorem von C. L. Siegel. Hierbei spielt die (2,3,7)-Spiegelungsgruppe eine wichtige Rolle. Wir präsentieren entsprechende Resultate und neue Entwicklungen für $n>2$.

Pappas und Rapoport haben einige Vermutungen über die Geometrie von Modulräumen von G-Bündeln formuliert, wobei G eine getwistete Gruppe über einer Kurve ist. Im Vortrag möchte ich zunächst erklären, dass die zugehörigen Modulräume wohlbekannt sind. Danach möchte ich einen Beweis für einige der Vermutungen geben und insbesondere die Uniformisierung der Modulräume durch (getwistete) affine Flaggenvarietäten zeigen.

Wir diskutieren den Abschluss einer Exponentialfamilie und stellen ein notwendiges Kriterium für die stetige Fortsetzbarkeit der Mittelwertparametrisierung vor. Die Ergebnisse setzen wir ein zur teilweisen Klassifizierung m-konvexer Exponentialfamilien. Wir verwenden sie zur Optimierung relativer Entropie (insbesondere Multi-Information) und zur Beschreibung von Maximum-Entropie Ensembles, die singulären Zustände inbegriffen.

Johannes Kepler schreibt 1596 in Mysterium Cosmographicum :”Die Geometrie birgt zwei große Schätze: der eine ist der vom Satz von Pythagoras, der andere ist die Teilung nach dem extremen und dem mittleren Verhältnis. Den ersten können wir mit einem Scheffel Gold vergleichen, den zweiten dürfen wir ein kostbares Juwel nennen.” Diese Aussage lässt bereits die große Bedeutung des Satzes des Pythagoras erahnen. Auch hört man häufig, dass trotz vieler in Vergessenheit geratener Fakten aus dem Mathematikunterricht der Satz des Pythagoras bei vielen Menschen auch nach ihrer Schulzeit noch lange in Erinnerung bleibt. Doch was macht den Satz des Pythagoras so besonders? Das Bemerkenswerte ist zum einen sicherlich, dass, obwohl die Aussage so simpel erscheint, ein sehr hoher Anwendungsbezug gegeben ist. Um die Faszination für den Satz des Pythagoras jedoch noch besser zu begreifen, ist es nützlich, in die Vergangenheit zu blicken und zunächst die Geschichte von Pythagoras, des Weisen von Samos, zu verfolgen. Die vorliegende Arbeit tut dies innerhalb des zweiten Kapitels und geht außerdem der Frage nach, aus wessen Hand der so berühmte Satz tatsächlich stammt. Des Weiteren wird die Satzgruppe des Pythagoras durch die dazu gehörenden Aussagen des Katheten- und des Höhensatzes ergänzt. Anschließend gibt die Arbeit Einblicke in Anwendungsbezüge, Spezialisierungen und Verallgemeinerungen der drei Sätze.

Wir zeigen, dass für genügend großes d der Modulraum aller ebenen Kurven vom Grad d rational ist.\\ References\\ * 0804.1503: Christian Böhning, Hans-Christian Graf v. Bothmer: Rationality of the moduli spaces of plane curves of sufficiently large degree

Der Vortrag gibt eine kurze Einführung in die Tropische Geometrie. Anschliessend betrachte ich den Gradientenfluss der Multi-Information von drei binären Einheiten. Die erhaltenen Bassins dieses Flusses können dann als die Zellen eines tropischen Polynoms angesehen werden.

In der vorliegenden Arbeit soll die Theorie der hyperreellen Zahlen, ein Teilgebiet der Nichtstandard-Mathematik. erklärt und für den Unterricht in der gymnasialen Oberstufe aufbereitet werden. Es werden einige Unterrichtsein-heiten entworfen unter dem Aspekt einer möglichen Umsetzung in den neu entstandenen Seminarfächern. insbesondere dem so genannten W-Seminar. Dazu wird auch der vielschichtig und umfassende Begriff der „Wissenschafts-propädeutik" geklärt und auf die Intention eingegangen. die das Bayerische Staatsministerium für Unterricht und Kultus mit der Einführung eines solchen Seminars verbindet. Eine Hauptkomponente der wissenschaftlichen Kompe-tenz, die die Schüler des Lehrgangs bzw. Seminars erwerben sollen, ist. die Fähigkeit des Beweisens. Dies und die Tatsache, dass das Gebiet „Nichtstandard-Analysis" in der Mathematik historisch und philosophisch „vorbelastet" ist, dass heißt bzgl. ihrer Berechtigung und Gültigkeit lange kontrovers diskutiert wurde, lässt es auch wichtig erscheinen. zunächst das Wesen der Mathematik und die Philosophie, die sich hinter dem mathematischen Denken verbirgt, zu durchleuchten und detaillierter zu beschreiben.

In this talk I will describe work that was done in collaboration with Marek Biskup and Lincoln Chayes. There are many classical spin systems which are better understood than their quantum analogues. We considered models which are reflection positive, and which can be proved to have a phase transition using a Peierls argument via chessboard estimates. For such models we can prove phase coexistence in the quantum model, for large enough spin j, using the classical arguments.

Durch den Einsatz von Lasern kann gezielt und dosiert Wärme eingebracht werden, so dass z.B. beim Schweißen sehr schmale Nähte erreicht werden oder auch sehr kleine Bauteile verarbeitet werden können. Im Vortrag werden Anwendungen aus dem Bereich des Aluminium- Schweißens und der Stoffanhäufung bei dnnen Stahl-Drähten gezeigt, bei denen die Geometrie des aufgeschmolzenen Bereichs und die Schmelze- Oberfläche einen großen Einfluss haben. Dies sind gemeinsame Arbeiten mit dem Bremer Institut fr Angewandte Strahltechnik (BIAS) und Stiftung Institut fr Werkstofftechnik (IWT) Bremen, mit J. Montalvo- Urquizo (Bremen), E. Bänsch und J. Paul (Erlangen).

The study of dynamical systems can go through the study of the evolution of functions under the dynamic. This talk will be focused on an article by V. Baladi and S. Gouëzel, which shows that in the case of piecewise smooth hyperbolic dynamics on compact Riemannian manifolds, the good choice of the function spaces - for instance, Sobolev-like function spaces - leads to strong spectral results. Under simple assumptions, one may get a spectral gap, and from that classical results : existence and unicity of ergodic measures with some constraint on its density, mixing at an exponential rate... Beyond their own interest, those methods may be applied to more concrete dynamical systems, such as chaotic billiards.

Programm siehe www.mathematik.uni-erlangen.de/~enz unter dem Punkt Conferences -> Saturday in Discrete Mathematics

Zwei verschiedenen Methoden, einen Parameter, der durch Momentengleichungen definiert wird, zu schaetzen werden in diesem Vortrag vorgestellt. Naemlich werden die verallgemeinente Methode der Momente und die empirische Likelihood Schaetzung verglichen. Das Ziel der Methoden ist einen effizienten normalverteilten Schaetzer zu bilden.

Aperiodic point sets such as the vertices of the Penrose tiling have many properties in common with periodic point sets, e.g. uniform pattern frequencies and pure point diffraction. This is commonly analysed through a certain uniquely ergodic dynamical system, which contains all translates of the given point set. We will talk about a generalisation of these ideas to point sets in certain locally compact spaces, together with particular group actions, where we have a characterisation of unique ergodicity in terms of existence of uniform pattern frequencies. We discuss applications of this setup.

Betrachten wir ein System von N > 1 elastisch gestreuten Kugeln mit Massen m_1,...,m_N > 0 und Radius r>0 auf dem Einheits-Torus T^n, n > 1. Die Ergodizitätsvermutung von Boltzmann-Sinai besagt dass das System für alle diejenigen Parameter (m_1,...,m_N ; r) hyperbolisch und ergodisch ist, für die der Chernov-Sinai Ansatz richtig ist. 1999 hat Simanyi einen Beweis gefunden, der nur dynamische Methoden und Werkzeuge der geometrischen Analysis benutzt. In diesem Seminar werden die Beweisideen diskutiert.

Die Verantwortlichen der Fuemo stellen uns ihre Arbeit vor.

Es wird ein Oszillationstheorem zur Berechnung des Spektrums von periodischen matrixwertigen Jacobi Operatoren vorgestellt. Das wesentliche Hilfsmittel ist dabei ein einfacher Zugang zur Definition und Berechnung von Schnittzahlindizes Lagrangescher Ebenen, a la Bott, Maslov und Conley-Zehnder.

In late 80s, Fontaine has shown that Galois representations of a p-adic field are classified by some (simple) linear data, which are called nowadays (phi,gamma)-modules. In this talk, I will first explain how this classification work for F_p-representations and then report on a recent work of Le Borgne which provides an algorithm to compute from a given (phi,gamma)-module some classical invariants (tame inertia weights) attached to the associated representation.

Der Vortrag behandelt das Minimierungsproblem für gewisse mehrdimensionale, nicht-parametrische Variationsintegrale unter einer Dirichlet-Randbedingung. Zunächst wird das Problem geeignet umformuliert, um die Existenz von Minimierern im Raum BV der Funktionen von beschränkter Variation zu erhalten. Danach werden für diese verallgemeinerten Minimierer die Fragen nach Eindeutigkeit, Regularität und Annahme der Randwerte diskutiert. Der Schwerpunkt liegt dabei auf dem Fall höherer Kodimension, der mit degeneriert elliptischen Systemen partieller Differentialgleichungen zusammenhängt.

The theory of possibly infinite dimensional modules over complex semisimple Lie algebras incorporates several tools from abstract homological algebra: Lie algebra cohomology and homology, Ext and Tor functors, and derived functors of endofunctors on various categories of modules. We illustrate the use of these tools in the context of modules which are locally finite with respect to a semisimple Lie subalgebra. The case when the subalgebra is isomorphic to sl(2) is especially easy to describe.

The orbit method suggests that there should exist a correspondence between unitary representations of Lie groups and coadjoint orbits. In the fifties, Kirillov proved that there exists a bijective correspondence for nilpotent Lie groups and coadjoint orbits. In this talk we generalize this correspondence to the super case. The main result is somewhat surprising, namely that a nilpotent supergroup has fewer representations than its even part.

We present a generalisation to the Banach-Lie setting of a criterion, due to Flato, Simon, Snellman and Sternheimer, for the integrability of a representation of a Lie algebra as skew-symmetric densely defined operators.

We review some old and new results on the survival probability of a random walk among a Poisson field of moving traps on Z^d, which can also be interpreted as the solution of a parabolic Anderson model with a random time-dependent potential. We show that the annealed survival probability decays asymptotically as \exp(-\sqrt{8t/\pi}) for d=1, as \exp(-\pi t/\log t) for d=2, and as \exp(-c_dt) for some c_d>0 for d>= 3, while the quenched survival probability always decays exponentially. This talk is based on a survey article jointly with A.Drewitz, J.Gartner., and A.F.Ramirez.

Let L be a finite dimensional Lie algebra over a field k of characteristic zero and let S(L) be its symmetric algebra, equipped with its natural Poisson structure. First a sufficient condition is given for the Poisson semi-center Sz(S(L)) to be a polynomial algebra. It turns out that this condition holds for many nilpotent Lie algebras, in which case Sz(S(L)) coincides with the Poisson center of S(L). Then, using this and other methods, we are able to give an explicit description for the Poisson center for all complex, nilpotent Lie algebras of dimension at most seven. As a bonus we can produce in each case a maximal Poisson commutative subalgebra of S(L). Finally, all these results carry over to the enveloping algebra U(L) of L.

Let $\q=Lie Q$ be a Lie algebra and $y\in\q^*$ a linear function on it. Then $y$ is said to be of reductive type if the quotient $Q_y/Z(Q)$ is reductive. Such linear functions are related to irreducible square integrable representations of $Q$. Suppose there is $y\in \q^*$ of reductive type. Then, by an unpublished result of Michel Duflo, there is also a unique "minimal" coadjoint orbit of reductive type and the corresponding stabiliser, MRS, encodes information about all reductive stabilisers. We will describe MRS for parabolic subalgebras of simple complex Lie algebras and seaweed subalgebras (intersections of two opposite parabolics) in gl_n. (This is a joint project with Anne Moreau.)

This lecture is dedicated to the memory of Israel M. Gelfand (1913-2009), a great mathematician who had a crucial influence on many areas of 20th century mathematics. His active mathematical life spanned nearly 80 years. I was happy to know him for more than 50 years and to collaborate with him on several projects. Gelfand had an absolutely special style in mathematics and I want to discuss this style and some of his achievements. One of Gelfand's lessons was to think about mathematics in a general setting, but to explain it with examples. Following this advice I will focus on one of Gelfand's discoveries - integral geometry. It started almost exactly 50 years ago when Gelfand extracted from the representations of the Lorentz group a problem in geometric analysis that could be naturally generalized to a situation in which the group disappeared. Gelfand's dream was to discover a geometrical universe that encompassed not only semisimple Lie groups, but other important mathematical realities as well. We will discuss how much has been done in these 50 years and how far we are today from a realization of Gelfand's dream.

Many models in statistical physics involve state spaces composed of countably many sites, for instance a site at each point of an infinite lattice; we will focus here on Markov chains in such spaces. A theorem by Dobrushin states that, under some restrictive assumptions (finiteness of the state space at each point of the lattice), if the influence of each site on the other sites is small enough, there is at most one equilibrium measure. Tools and methods coming from optimal transport theory allow us, however, to generalize this theorem to much broader settings; they also lead to results of stability under small perturbations for some nice systems, including some iterated functions systems.

This work follows previous works by Helffer-(Klein)-Nier about the metastability in reversible diffusion processes via a Witten complex approach. Again, exponentially small eigenvalues of some self-adjoint realization of $\Delta_{f,h}^{(0)}=-h^2\Delta +|\nabla f(x)\|^2-h\Delta f(x)$ are considered as the small parameter h>0 goes to 0 (the function f is assumed to be a Morse function on some bounded domain $\Omega$ with boundary). Neumann type boundary conditions are considered. With these boundary conditions, some simplifications possible in the Dirichlet problem studied by Helffer-Nier are no more possible. A finer treatment of the three geometries involved in the boundary problem (boundary, metric, Morse function) is carried out.

Pourrait-on vivre dans un monde sans essayer d'en comprendre les pourquoi et les comment? Qu'on l'appelle curiosité, appétit de savoir ou soif de connaissance, l'attrait de la découverte mathématique nous entraîne à explorer les limites de notre territoire mental et de notre intelligence.

Seit Oktober 2009 gehört zur Technischen Universität München eine neue Fakultät, dieTUM School of Education. Ihre Einrichtung geschah mit dem Ziel, eine exzellente, qualitätsvolle und moderne Lehramtsausbildung in einem geeigneten organisatorischen Rahmen zu realisieren. Insbesondere wurde dabei die enge Verzahnung von Fächern, Fachdidaktiken und Erziehungswissenschaften angestrebt, wobei die Basis eine integrative Betrachtung von universitärer Lehre, Schulpraxis und Bildungsforschung ist. Die TUM School of Education setzt damit einerseits Erkenntnisse der Lehr-Lern-Forschung um und orientiert sich andererseits an internationalen Normen für die Lehramtsausbildung. Ein zentrales Fach im Fächerspektrum ist dabei die Mathematik. Der Vortrag wird an diesem Beispiel über die theoretischen Grundlagen und die konkrete Umsetzung in Form der TUM School of Education informieren.

We discuss geometric properties of percolation clusters on the lattice and on Cayley graphs of finitely generated groups. Thereafter we turn to spectral properties of Laplacians on the full Cayley graph and on percolation sub-graphs. The considered properties are encoded in the spectral distribution function. In particular, in the amenable setting we discuss approximability by finite volume eigenvalue counting functions, and the asymptotic behaviour at low energies.

Spherical varieties are a special class of algebraic varieties equipped with an action of a reductive group; they are the älgebraic analog" of multiplicity free symplectic hamiltonian manifolds. In the talk we will report on the current work in progress about their classification by means of combinatorial objects called ßpherical systems". We will also explain the central role played by the sub-family of wonderful varieties, which are a generalization of the De Concini-Procesi compactifications of symmetric homogeneous spaces.

Die logistische Gleichung dp/dt=Ap-Bp² wurde 1838 von P. Verhulst eingeführt, um eine Population mit begrenzten Resourcen zu modellieren. In diesem Vortrag soll ein analoges Partikelmodell (ein Markovscher Sprungprozess in stetiger Zeit) vorgestellt werden, in dem Partikel sich mit linearer Rate vermehren und mit quadratischer Rate sterben. Zusätzlich wird Migration auf einer räumliche Struktur von N Kolonien eingeführt und das Wachstum der Population, von einem Partikel auf einer Kolonie ausgehend, in den Limiten N->\infty, t->\infty, N,t(N)->\infty studiert. Es stellt sich heraus, dass das Funktional der besetzten Kolonien im geeigneten Limes (bis auf einen zufälligen Zeitshift) deterministisch wird und ebenfalls eine logistische Differentialgleichung erfüllt.

The idea of localization comes from algebraic geometry: Let Y be the zero set of some algebraic function f on X, which does not vanish at x. Then the affine ring K[(X\Y )] is obtained from K[X] by adjoining a multiplicative inverse for f , i.e., taking the coproduct of K[X] with the free ring in one generator and dividing out the ideal I_f := < 1-ft > ; this is called inverting f . Unfortunately, this construction is not valid for the algebra of smooth functions on some manifold M . In the first part of this talk we will introduce an appropriated method of localizing algebras in a smooth way. In the second part of this talk we will present a new characterization of free actions, i.e., given a dynamical system (A, G, \mu_A ), consisting of a commutative CIA A, a locally compact group G and a group homomorphism \mu_A : G - > Aut(A), which induces an action of G on A, we will present conditions involving irreducible representations of G which ensures that the corresponding action \Gamma_A x G - > \Gamma_A of G on the spectrum \Gamma_A of A is free. This observation may be viewed as a first step towards a geometric approach to noncommutative principal bundles. Finally, we will use the foregoing considerations to give a (possible) definition of (locally trivial ) noncommutative principal T^n -bundles.

Wenn eine algebraische Gruppe G auf einer algebraischen Varietät X operiert, dann ist es eine der wichtigsten Fragen, wie man die Bahnen von G beschreiben kann. Hier helfen Invarianten, d.h. polynomiale oder rationale Funktionen, die auf die Bahnen konstant sind.\\ Wenn G reduktiv ist, besagt ein klassischer Satz von Hilbert, dass der Invariantenring endlich erzeugt ist. Dies ist im Allgemeinen falsch, wie Nagatas Gegenbeispiel zu Hilberts 14. Problem zeigt. Nun sind nicht alle in der Praxis vorkommenden algebraischen Gruppen reduktiv. Wir werden neue Ergebnisse in der Invariantentheorie nichtreduktiver algebraischer Gruppen vorstellen. Ein weiteres Ziel ist es, Anwendungen zur Poissongeometrie und zur Hamiltonschen Mechanik zu präsentieren.

We prove formulae for Hodge numbers of big resolutions of singular hypersurfaces satisfying a Bott-type vanishing condition.

In modeling interactions between different types of molecular species (or individuals) in a population one often makes the assumption that the system is "well mixed". This is reflected in the fact that the rate at which reactions between species occur is proportional the overall number of each of the species types that are needed as inputs for the reaction. Intuitively this assumption is correct if molecular transport (or individual movement) is "much faster" than the interactions. When molecular transport is not fast enough to insure spatial homogeneity of the system, one needs to address the role of space in the evolution of the total amount of each species (individual type) in the system. I will present a model for a spatially inhomogeneous system. By making different assumptions on how fast the molecular transport (individual movement) is relative to the interactions, I will derive results for the evolution of the total amount of each species in the system, and discuss how they differ from results in a homogeneous system. This is joint work with Peter Pfaffelhuber.

Emergenz bezeichnet, grob gesagt, das plötzliche Auftreten einer neuen qualitativ höherwertigen Eigenschaft in einem System, welche prinzipiell nicht aus den einzelnen Bestandteilen des Systems abgeleitet werden kann. Mit Hilfe von Komplexitätsmaßen wird mit informationstheoretischen Mitteln versucht solche emergente Strukturen zu erfassen. Dazu werden drei ausgewählte Komplexitätsmaße, die Exzess-Entropie, die statistische Komplexität und die persistente Transinformation, vorgestellt und bewertet. Es werden Beispiele sowie Resultate zu den jeweiligen Maßen vorgestellt.

We will work over the complex numbers. When an algebraic group G acts on an affine variety X, the coordinate ring O(X) of X is naturally a G-module. A natural question is whether (or to what extent) the G-module structure of O(X) determines its G-algebra structure. \\ In the setting where G is a reductive linear algebraic group and the G-module O(X) has finite multiplicities, V. Alexeev and M. Brion brought geometry to this question by constructing a moduli scheme which parametrizes the G-multiplication laws "compatible" with the given G-module structure.\\ After briefly reviewing examples of this moduli scheme due to S. Jansou, P. Bravi and S. Cupit-Foutou, I will discuss joint work with S. Papadakis on the case where the given module structure is that of the coordinate ring of a spherical module (i.e. a finite dimensional G-module which is spherical as a G-variety) and G is of type A.

A Banach symmetric space is a smooth Banach manifold $M$ endowed with a multiplication map $\mu\colon M\times M \to M$ such that each left multiplication map $\mu_x:=\mu(x,\cdot)$ is an involutive automorphism with the isolated fixed point $x$. Each tangent space carries the natural structure of a Lie triple system. When does a Lie triple system arise as a Lie triple system of a symmetric space? We give an integrability criterion.

Gemeinsames Seminar mit AG Stochastik, von 14:15-18:00.

In this talk I introduce the notion of rank for unitary representations of reductive groups (the initial approach by Howe, and my more general approach using the orbit method for nilpotent Lie groups). Next I will explain two applications of this notion. Time permitting, I sketch a proof of the fact that unitary representations with small rank are never tempered (i.e., they never appear in the Plancherel measure).

The standard C*--algebraic version of the algebra of canonical commutation relations, the Weyl algebra, frequently causes difficulties in applications since it neither admits the formulation of physically interesting dynamical laws nor does it incorporate pertinent physical observables such as (bounded functions of) the Hamiltonian. Here a novel C*--algebra of the canonical commutation relations is presented which does not suffer from such problems. It is based on the resolvents of the canonical operators and their algebraic relations. The resulting C*--algebra, the resolvent algebra, has many desirable analytic properties and the regularity structure of its representations is surprisingly simple. Moreover, the resolvent algebra is a convenient framework for applications to interacting and to constrained quantum systems.

A recurrent theme in the description of phase portraits of dynamical systems is that of elliptic islands in a chaotic sea. Usually this picture is invoked in the context of smooth twist maps of the annulus or the torus, like the standard map. In this setting 'elliptic islands' refers to the topological disks bounded by periodic smooth curves surrounding elliptic periodic points. The aim of the talk is to approach the topic from a different angle, namely from the viewpoint of rotation theory. We study homeomorphisms of the two-torus, homotopic to the identity, which have no wandering open sets (as in the area-preserving case) and whose rotation set has non-empty interior. For such maps, we provide a purely topological characterisation of elliptic islands in terms of `local rotation subsets'. As a consequence, we obtain that in the chaotic region the dynamics are sensitive with respect to initial conditions. The results are demonstrated by examples in a natural family of smooth toral diffeomorphisms. This family can be seen as a modification of an example by Misiurewicz and Ziemian (J. LMS '89) and has LeBoeuf et al. in the context of quantum dynamics (Phys. Rev. Letters '90).

A recurrent theme in the description of phase portraits of dynamical systems is that of elliptic islands in a chaotic sea. Usually this picture is invoked in the context of smooth twist maps of the annulus or the torus, like the standard map. In this setting ?elliptic islands? refers to the topological disks bounded by periodic smooth curves surrounding elliptic periodic points. The aim of the talk is to approach the topic from a di?erent angle, namely from the viewpoint of rotation theory. We study homeomorphisms of the two-torus, homotopic to the identity, which have no wandering open sets (as in the area-preserving case) and whose rotation set has non-empty interior. For such maps, we provide a purely topological characterisation of elliptic islands in terms of `local rotation subsets'. As a consequence, we obtain that in the chaotic region the dynamics are sensitive with respect to initial conditions. The results are demonstrated by examples in a natural family of smooth toral di?eomorphisms. This family can be seen as a modification of an example by Misiurewicz and Ziemian (J. LMS '89) and has LeBoeuf et al. in the context of quantum dynamics (Phys. Rev. Letters '90).

One of the most remarkable tools in non-modular invariant theory of finite groups is Molien's formula, which provides a means to compute the Hilbert series of an invariant ring without touching a single invariant. It would be very nice to have such a tool in the modular case as well. In this talk I will show how to achieve this goal in the case that the group order is divisible by the characteristic just once. This is joint work with Ian Hughes.

Millenium Prize Problems: Große Fragen der Mathematik;\\ Veranstaltungsreihe des Mathematischen Instituts im Wintersemester 2002/03.\\ Zur Jahrtausendwende wählte das Clay Mathematics Institute (Cambridge, USA) sieben "Millennium Prize Problems" aus und setzte für deren Beantwortung ein Preisgeld von je einer Million Dollar aus. Beginnend mit einem historischen Vortrag werden nun im WS 02/03 diese klassischen mathematischen Probleme vorgestellt. Interessierte sind herzlich eingeladen!

Counting rational solutions to algebraic equations with rational coefficients amounts to counting rational points on algebraic varieties. In case the variety can be embedded in an abelian variety, a powerful tool is given by the theory of height. One then distinguishes between points of small heights (or small points) and points of large heights. It is remarkable that the number of small points (even defined over an algebraic closure of the base field) can be bounded in geometrical terms only (Bogomolov type result). The lecture will survey recent effective estimates obtained in this area, via the theory of diophantine approximation. Some of them extend to the abelian case older results in the case of the multiplicative group (Lehmer's problem, Lawton theorem, ...), which are also sharpened.

Im Vortrag geben wir zunächst einen elementaren Überblick über die verschiedenen Ensembles und deren Äquivalenz. Es können dabei drei verschiedene Typen von Äquivalenz definiert werden. Wir diskutieren diese Typen und geben einen Überblick über Resultate mit periodischen Randbedingungen, welche die Methoden der Theorie der Großen Abweichungen benutzen. Anschließend behandeln wir den Fall nichtperiodischer Randbedingungen anhand des Gittergasmodells, bei dem die mikrokanonische Zustandssumme mit Hilfe der Graphentheorie abgezählt wird. Im eindimensionalen Fall haben die Randbedingungen keinen Einfluß auf das Limes-Gibbs-Maß. Wir geben zum Schluß einen Ausblick auf offene Fragen und zukünftige Projekte.

Millenium Prize Problems: Große Fragen der Mathematik;\\ Veranstaltungsreihe des Mathematischen Instituts im Wintersemester 2002/03.

The subject is on the borderline of geometry and dynamics. It has an elementary flavor, and offers several open problems whise formulation does not require an extensive background. Some of these problems are very basic: Does every triangle have a periodic billiard orbit?

Ausgehend von den Grundprinzipien der quanten-statistischen Mechanik haben J.Feldman, E.Trubowitz und ich bewiesen, dass gewisse, schwach wechselwirkende, zweidimensionale Vielteilchensysteme von Fermionen bei Temparatur Null ``Fermiflüssigkeiten'' sind. Im Vortrag werde ich u.a. eine kurze mathematische Beschreibung von Fermiflüssigkeiten und anderen möglichen Zuständen von Vielteilchensystemen von Fermionen geben. Beim Beweis der obigen Aussage gehen wir von der (wohlverstandenen) Situation nicht wechselwirkender Fermionen aus und kontrollieren dann den Effekt der Wechselwirkung zwischen den Fermionen. Eine wichtige Invariante eines solchen Vielteilchensystems ist die sogenannte Fermifläche. Sie ist die Menge der Punkte im Impulsraum, wo die das System beschreibenden Green'schen Funktionen Singularitäten haben. Diese Fläche wird deformiert, wenn man von der Situation ohne Fermion-Fermion Wechselwirkung zu einer Situation mit Wechselwirkung übergeht. Wir untersuchen diese Deformation mittels einer Multiskalen-Analyse um die Fermifläche des wechselwirkenden Systems. Im Vortrag werde ich auch darauf eingehen, wie wir das Pauli'sche Ausschliessungsprinzip (d.h. die Tatsache, dass die Wellenfunktionen antisymmetrisch sind) dazu verwenden, um die Konvergenz unserer Konstruktion zu beweisen.

Pseudo-random numbers play vitally important roles in modern digital communication systems, such as stream cipher systems or spread spectrum communication systems. In the latter systems, they are called spreading sequences. Piecewise linear Markov (PLM) maps are known to be the simplest discrete time dynamical systems that can generate sequences of Markov chains. Recently spreading sequences based on such maps are proposed, and there have been intense interest not only such sequences but also real-valued chaotic spreading sequences based on one-dimensional ergodic maps, such as Chebyshev maps. However, there are a few studies on designing such sequences that minimizes the bit error probabilities of the spread spectrum communication systems although the bit error probabilities are one of the most important measures of the quality of the systems. In this presentation, we consider simple Markov chains and give the optimum chains in terms of bit error probabilities.

It is well known that torsion-free abelian groups admit a wide variety of direct decompositions. In the famous book by Laszlo Fuchs two problems concerning ranks of indecomposable summands and their numbers in different decompositions of the same group were formulated. We give a complete solution of these problems by means of a graphical (combinatorial) method. Also a classification of torsion-free abelian groups of a particular class has been obtained.

Millenium Prize Problems: Große Fragen der Mathematik; Veranstaltungsreihe des Mathematischen Instituts im Wintersemester 2002/03. In der Komplexitätstheorie vesucht man, algorithmisch lösbare Probleme anhand des Ressourcenverbrauchs (z.B. Rechenzeit) für die einschlägigen Lösungsverfahren zu klassifizieren. Die Kürzel P bzw. NP beschreiben dabei diejenigen Klassen von Problemen, mit denen man die intuitiven Begriffe des "`effizienten Entscheidens"' bzw. des "`effizienten Verifizierens'" erfassen möchte. Dabei meint "`Verifizieren'", dass man die positiven Fälle eines Entscheidungsproblems (z.B. "`hat der Graph G einen hamiltonschen Kreis?"') anhand geeigneter Zusatzinformation ("`Zertifikat"') identifizieren kann; ein Entscheidungsverfahren dagegen muss positive und negative Fälle ohne solche Hilfen unterscheiden können. Das Interesse an der Frage, ob denn jedes effizient verifizierbare Problem auch effizient entscheidbar ist, resultiert aus dem weiten Spektrum von NP--Problemen praktischer Relevanz aus vielen Bereichen mathematisierbarer Wissenschaften, für die man trotz intensiver Suche bislang keine entscheidend besseren Lösungsverfahren als die des banalen Durchprobierens aller Möglichkeiten gefunden hat - und für die man andererseits keine aussagekräftigen unteren Schranken für den Aufwand eines jeden möglichen Verfahrens kennt, die eine Zugehörigkeit zur Klasse P ausschließen. Der Vortrag soll die Begriffe, Methoden und Resultate zu dieser Problematik umreißen, wobei mehr Gewicht auf anschauliche Beispiele als auf rigorosen Formalismus gelegt wird. Dass das bislang erfolglose Bemühen um eine Antwort auf die obige fundamentale Frage in deren Umfeld viele interessante und fruchtbare Entwicklungen in Gang gesetzt hat, soll dabei exemplarisch angesprochen werden.

Es ist ein grundlegendes Problem der Quantenphysik, dass die bekannten physikalischen Gleichungen für sehr kleine Systeme (Planck-Skala) zu Inkonsistenzen führen. Das Prinzip des fermionischen Projektors ist ein Versuch, hier einen Schritt weiter zu kommen, indem man die mathematische Struktur der Raumzeit grundlegend verändert. Genauer werden die metrische, kausale und topologische Struktur der Raumzeit aufgegeben. Anstatt dessen werden ein lokales Eichprinzip, das Pauli-Prizip und das Äquivalenzprinzip so miteinander abstrakt kombiniert, dass man einen mathematischen Rahmen erhält, in dem sich neuartige Variationsprinzipien in der Raumzeit formulieren lassen. Grob vereinfacht besagt das Prinzip des fermionischen Projektors, dass alle Strukturen der Raumzeit durch die quantenmechanischen Teilchen und Antiteilchen (Diracsee) induziert werden. Für makroskopische Systeme (mathematisch als "Kontinuumslimes" präzisiert) erhält man die Korrespondenz zu kausalen Differentialgleichungen in der Raumzeit. Auf der Planck-Skala sind Kausalität und Lokalität jedoch verletzt. Das Prinzip des fermionischen Projektors wurde für ein "Modell"-Variationsprinzip genauer untersucht. Man erhält sehr konkrete Ergebnisse (Eichgruppen, Kopplungen, spontane Symmetriebrechung, Quark-Mixing), die in überraschender Übereinstimmung mit dem Standardmodell sind. In dem Vortrag wird für Mathematiker gut verständlich in das Prinzip des fermionischen Projektors eingeführt, und es werden die erzielten Ergebnisse vorgestellt. Es wird besonders versucht, die grundlegenden Begriffe zu erklären und den mathematischen Rahmen herauszuarbeiten.

Algebraische Geometer studieren Kurven, Flächen oder andere geometrische Objekte, die als Lösungsmengen polynomialer Gleichungen auftreten. Ein wichtiges Hilfsmittel ist ein geometrisch-algebraisches Wörterbuch, das geometrische Eigenschaften in algebraische Eigenschaften übersetzt und umgekehrt. Dieses Wörterbuch erlaubt es insbesondere, moderne Computeralgebramethoden zur intensiven Beispielrechnung heranzuziehen. Durch solche Experimente kann man mathematische Zusammenhänge erkennen oder etwa Gegenbeispiele zu Vermutungen finden. In meinem Vortrag spreche ich unter anderem folgende Fragen an: Was kann heute in der algebraischen Geometrie berechnet werden? Welche Computeralgebrasysteme sind für diese Rechnungen geeignet? Was sind typische Anwendungen?

Es werden diskrete eindimensionale Schrödingeroperatoren über strikt ergodischen dynamischen Systemen untersucht. Das Spektrum dieser Operatoren kann mittels gleichmässiger Existenz der Lyapunov-Exponenten charakterisiert werden. In Kombination mit geeigneten Ergodensätzen folgt damit Cantorspektrum vom Mass Null für eine grosse Klasse von Quasikristall-Schrödingeroperatoren.

The theory of complex cobordism plays a central role in algebraic topology. Guided by this topological theory, Morel and I have constructed a theory of algebraic cobordism of varieties over a field of characteristic zero. This theory simultaneously generalizes the Chow ring and the algebraic K_0 of a smooth variety. In addition, it enables one to prove a general "degree formula" which can be specialized to prove interesting divisibility relations of characteristic classes.

Millenium Prize Problems: Große Fragen der Mathematik; Veranstaltungsreihe des Mathematischen Instituts im Wintersemester 2002/03. In seinem Habilitationsvortrag skizzierte Riemann 1854 einen Raumbegriff (Mannigfaltigkeiten), der unabhängig von unserem Anschauungsraum ist. Damit war er seiner Zeit weit voraus. Erst 50 Jahre später formulierte Poincaré dazu Fragestellungen, die über Riemanns Intuition hinausgingen. Eine naheliegende Frage ist z.B.: Welche Mannigfaltigkeiten gibt es überhaupt? Geschlossene Mannigfaltigkeiten der Dimension 1 (Kurven) sind sehr leicht zu klassifizieren, Mannigfaltigkeiten der Dimension 2 (Flächen) sind auch klassifiziert, allerdings mit ziemlich viel begrifflichem Aufwand. Poincaré erfand dazu den Begriff der Homologiegruppen, die zwischen wesentlich verschiedenen Mannigfaltigkeiten unterscheiden. Später verallgemeinerte Poincaré den Begriff der Homologiegruppe H_1 zur Fundamentalgruppe \pi_1. Alle Sphären S_n der Dimension n\geq 2 haben eine Fundamentalgruppe \pi_1(S_n)=0. 1904 formulierte Poincaré die Vermutung: Jede kompakte, zusammenhängende, orientierbare Mannigfaltigkeit X der Dimension 3 mit \pi_1(X) = 0 ist homöomorph zur 3--Sphäre S_3. Trotz großer Fortschritte beim entsprechenden Problem in Dimensionen n\geq 4 ist diese Poincaré--Vermutung auch heute noch offen. Im Vortrag sollen die relevanten Begriffe präzisiert werden, sowie Ergebnisse in höherer Dimension skizziert werden.

A coherent system on an algebraic curve (or indeed on any scheme) consists of a vector bundle (or coherent sheaf) and a subspace of its space of global sections; moduli spaces can be defined for such objects (with a concept of stability depending on a real parameter) and many of their properties described. In this talk we will discuss some of these properties and the relationship between the moduli spaces of coherent systems and the higher rank Brill-Noether loci and consider how this can be used to enhance our knowledge of both topics.

Wir finden und beweisen eine asymptotische Formel fuer die Zahl von geschlossenen Geodaetischen auf Mannigfaltigkeiten mit nichtpositiver Kruemmung. Dies verallgemeinert ein bekanntes Resultat von Fields-Medaillist G.A. Margulis auf den nichtuniform hyperbolischen Fall und verschaerft Resultate von G. Knieper. Im Zuge des Beweises zeigen wir auch, wie die Margulis-Konstruktion auch ohne starke Hyperbolizitaet funktionieren kann.

Millenium Prize Problems: Große Fragen der Mathematik; Veranstaltungsreihe des Mathematischen Instituts im Wintersemester 2002/03. Die Navier-Stokes Gleichungen beschreiben die Bewegung einer inkompressiblen Flüssigkeit im zwei- bzw. dreidimensionalen Raum (R^n mit n=2,3). Die Gleichungen haben die Form \partial u_i/\partial t + \sum_{j=1}^n u_j \partial u_i/\partial x_j = \nu\Delta u_i - \partial p/\partial x_i + f_i(x,t)\quad (x\in R^n, t\ge 0, 1\le i\le n), div u = \sum_{j=1}^n \partial u_j/\partial x_j =0 (x\in R^n, t\ge 0), mit einer Anfangsbedingung u(x,0)= u_0(x) (x\in R^n). Dabei bezeichnet u(x,t)=(u_i(x,t))_{1\le i\le n} das unbekannte Geschwindigkeitsfeld und p(x,t) die unbekannte Druckverteilung der Flüssigkeit am Ort x\in R^n zur Zeit t\ge 0. u_0 ist ein gegebenes, glattes, divergenzfreies Vektorfeld auf R^n, f(x,t)= (f_i(x,t))_{1\le i\le n} eine äußere Kraft, die auf die Flüssigkeit wirkt (etwa die Gravitationskraft), und \nu>0 steht für die Viskosität der Flüssigkeit. Aus physikalischen Gründen beschränkt man sich bei der Betrachtung der Navier-Stokes Gleichungen auf Anfangsdaten u_0 bzw. externen Kräften f, die gewisse natürliche Abfallbedingungen auf R^n bzw. R^n\times [0,\infty ) erfüllen. Physikalisch sinnvoll sind dann solche Lösungen u, p der Navier-Stokes Gleichungen, die auf R^n\times [0,\infty) glatt sind und beschränkte Energie für alle Zeiten t\ge 0 besitzen. Letzteres bedeutet, dass gilt \int_{R^n|u(x,t)|^2 dx\leq C für alle t\ge 0. Die fundamentalen Fragen sind nun (n=3, \nu>0): (Existenz und Regularität) Gibt es bei verschwindender äußerer Kraft (also f\equiv 0) und beliebigen Anfangsdaten (mit hinreichend schnellem Abfall im Unendlichen) eine glatte Lösung u, p mit beschränkter Energie der Navier-Stokes Gleichungen auf R^3\times [0,\infty)? (Blow-up) Gibt es ein Paar u_0, f, welches die Abfalbedingungen erfüllt und für das keine glatte Lösung der Navier-Stokes Gleichungen auf R^3\times [0,\infty) existiert?

I shall speak about the problem of existence of closed magnetic geodesics, i.e. trajectories of a charged particle on a Riemannian manifold.

Eine Kleinsche Gruppe $\Gamma$ ist eine diskrete Untergruppe der Isometrie-Gruppe des (n-dimensionalen) hyperbolischen Raumes. Der Raum der $\Gamma$-Orbits ist eine hyperbolische Mannigfaltigkeit X konstanter negativer Krümmung. X enthält eine abzählbare Menge geschlossener Geodätischer. Diese definieren eine Selbergsche Zeta-Funktion. Im Vortrag erklären wir warum die Nullstellen und Polstellen dieser Zeta-Funktion mit konform-invarianten Distributionen auf der Limesmenge von $\Gamma$ in Verbindung stehen. Wir beschreiben strukturelle Ergebnisse über diese Distributionen und explizite Formeln in einfachen Situationen. Der Übersichtsvortrag referiert Ergebnisse der letzten Jahre.

Es wird ein Entropiebegriff für stationäre, reellwertige Zeitreihen vorgestellt, der nur auf den Ordnungsstatistiken endlicher Abschnitte der Zeitreihe beruht. Für Zeitreihen, die von dynamischen Systemen erzeugt werden, wird an Beispielen untersucht, in wie weit er mit dem in der Ergodentheorie üblichen Entropiebegriff übereinstimmt.

A review of the theory of cubature formulae of high trigonometric degree will be presented. Application to the discrete Fourier transform will be given.

Millenium Prize Problems: Große Fragen der Mathematik; Veranstaltungsreihe des Mathematischen Instituts im Wintersemester 2002/03.

Die Differentialgaloistheorie stellt eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Galoistheorie auf Differentialgleichungen dar. Dem Zerfällungskörper entspricht in der Differentialgaloistheorie die Picard-Vessiot-Erweiterung, und die Differentialgaloisgruppe ist die Gruppe der Automorphismen dieser Erweiterung, die den Grundkörper fixieren und mit der gegebenen Derivation verträglich sind. Die Differentialgaloisgruppen sind lineare algebraische Gruppen. Analog zur klassischen Situation betrachtet man das inverse Problem: Welche linearen algebraischen Gruppen treten in dieser Weise über einem gegebenen Differentialkörper auf?\\[2ex] Dieser Vortrag soll zunächst eine Einführung in die Differentialgaloistheorie geben und dann das inverse Problem näher behandeln. Das Hauptresultat ist dabei der folgende Satz: Jede lineare algebraische Gruppe tritt als Differentialgaloisgruppe über dem Differentialkörper $K(t)$ mit Derivation $d/dt$ und algebraisch abgeschlossenem Konstantenkörper auf.

Programm: Begrüßung durch den geschäftsführenden Vorstand des Mathematischen Instituts, Prof. Dr. F. Duzaar. Prof. Dr. K. Strambach, Universität Erlangen-Nürnberg "Georg Nöbelings Wirken". Prof. Dr. Dr. h. c. mult F. Hirzebruch, Universität und MPI Bonn "Elliptische Kurven, Flächen und Varietäten".

Millenium Prize Problems: Große Fragen der Mathematik; Veranstaltungsreihe des Mathematischen Instituts im Wintersemester 2002/03.

K. Kato definierte kanonische Kettenkomplexe für arithmetische Schemata, die die Galoiskohomologie aller Restklassenkörper mit Hilfe von Spezialisierungsabbildungen verknüpft. Die Homologie dieser Komplexe hängt eng mit der höherdimensionalen Klassenkörpertheorie zusammen. Im Vortrag wird gemeinsame Arbeit mit S. Saito vorgestellt, in der diesbezügliche Vermutungen von Kato in bestimmten Situationen bewiesen werden.

The averaging setup emerged originally in the 18th century studying perturbations of systems with constants of motion, most notably in celestial mechanics. This leads to a combination of fast and slow motions and the averaging prescription suggests to approximate the slow motion by averaging it along the fast one. This approach became useful both in deterministic and stochastic frameworks in a range of fields from the theory of oscillations to climate--weather interactions where K.Hasselmann suggested to treat climate as a slow and weather as a fast (chaotic) motion. I shall discuss some of mathematical results and remaining problems in this area.

Programm. \par 15.00 Uhr Eröffnung und Grußworte. \par Prof. Dr. K. Jacobs, Erlangen: "Erinnerungen an Heinz Bauer" \par 15.45 Uhr Prof. Dr. H. Heyer, Tübingen: "Heinz Bauer - Wissenschaftlicher Weg und Werk" \par 16.45 Teepause \par 17.15 Uhr Prof. Dr. I. Netuka, Prag: "Harmonic approximation"

Millenium Prize Problems: Große Fragen der Mathematik; Veranstaltungsreihe des Mathematischen Instituts im Wintersemester 2002/03. Die Maxwell-Gleichung, eine partielle Differentialgleichung, beschreibt die Dynamik elektromagnetischer Felder und deren Wechselwirkung mit Materie. Mit ihrer Hilfe können so unterschiedliche Phänomene wie Magnetismus, elektrischer Strom oder Lichtbrechung verstanden werden. Mit dem Aufkommen der Quantentheorie vor etwa einem Jahrhundert wurde auch die Notwendigkeit der Quantisierung der (klassischen) Maxwellschen Feldgleichungen klar. Inzwischen ist die sogenannte Quantenelektrodynamik (QED) eine physikalische Theorie, die es gestattet, gewisse Wechselwirkungen mit einer Präzision von sieben Stellen zu berechnen. Es ist aber noch nicht klar, ob die QED mathematisch rigoros formuliert werden kann. Der Erfolg der QED führte zu ihrer Verallgemeinerung zur Yang-Mills-Theorie, mit deren Hilfe die Kernkräfte beschrieben werden können. Während der QED eine abelsche Symmetrie (die Liegruppe U(1) ) zugrunde liegt, ist die Symmetriegruppe der Yang-Mills-Gleichungen nicht abelsch. Die Theorie ist in der Sprache der Differentialgeometrie formuliert. So wird die Feldstärke als Krümmung interpretiert. Den Photonen der QED entsprechen die sogenannten Gluonen, den Elektronen die Quarks. Mathematisch ungelöst ist bis heute sowohl die Konstruktion der Theorie als auch ihre wichtigste Aussage, das sogenannte Confinement, d.h. dass im Gegensatz zur QED freie Quarks und Gluonen in der Natur nicht vorkommen.

Programm: \par 14.00 Uhr Elena Berdysheva (Stuttgart-Hohenheim): Über das Turansche Problem; \par 15.00 Uhr Frank Zeilfelder (Mannheim): Interpolation mit Splines auf Triangulierungen; \par 16.30 Uhr Manfred v. Golitschek (Würzburg): Penalized Least Square Approximation; \par Siehe auch: \par http:www.mi.uni-erlangen.de/~schmid/akapprox/workshops/workshop38.html

Wir behandeln Modelle mit kontinuierlichem Spin, welche effektive Modelle für Grenzflächen darstellen. Das Zufallsfeld der sogenannten Höhen gibt dabei den Abstand einer Grenzfläche von einer anderen an. Gibbsmaße für diese Modelle existieren nur für Dimensionen größer gleich 3. Die masselosen Modelle kommen in vielen Zweigen der Physik und Mathematik vor, besonders der Quantenfeldtheorie. Wir schränken uns auf die Grenzflächenmodelle ein, da das Zufallsfeld der Gradienten die Existenz der Gibbsmaße für jede Dimension liefert. Große Abweichungen für das empirische Feld des Zufallsfeldes der Gradienten sind schwierig zu bekommen, da keine Produktstruktur des Referenzmaßes vorliegt und da die Plaquette-Bedingung eine zusätzliche langreichweitige Korrelation erzeugt. Wir stellen hier einen Zugang vor, wie man für sogenannte freie Randbedingungen mit der Einschränkung auf die Gradienten-\sigma-Algebra zu Ergebnissen kommt. Wir diskutieren die einzelnen Beweisideen und behandeln besonders die auf eine feste Neigung u\in\R^d bedingten Maße. Der Vortag basiert auf einer gemeinsamen neuen Arbeit mit J.D. Deuschel (TU Berlin) und S. Sheffield (Microsoft Research).

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Im Vortrag wird eine (im Rahmen einer Diplomarbeit in Zusammenarbeit mit dem Fraunhoferinstitut entwickelte) Streustrahlenkorrektur in der industriellen Computer-Tomographie vorgestellt. Am Anfang wird kurz die Theorie der inversen bzw. schlecht gestellten Probleme vorgestellt und am Beispiel der Radontransformation erläutert. Im zweiten Teil wird erklärt, wie Streustrahlung und Strahlaufhärtung die Rekonstruktion in der Computertomographie schwierig machen, also zu Artefakten führen. Schließlich wird ein (eher heuristisches) Korrekturverfahren für Streustrahlartefakte vorgestellt. In diesem wird das Streuproblem zwar nicht analytisch gelöst, aber es wird die Streuintensität mit Hilfe neuartiger Näherungen hinreichend schnell und genau berechnet.

\it (Gemeinsam mit der AG Codierungstheorie)

Eine der Aufgaben der SIAM 100-Digit Challenge, nämlich die Berechnung der Austrittswahrscheinlichkeiten einer Brown'schen Bewegung aus den Schmalseiten eines langgestreckten Rechtecks auf zehnstellige Genauigkeit, führt auf eine interessante Reise durch die Mathematik. Am Ende dieser Reise mit Stationen in der Numerik partieller Differentialgleichungen, der Potentialtheorie, der komplexen Analysis, der Theorie elliptischer Funktionen und der Klassenkörpertheorie steht eine völlig unerwartete geschlossene Lösung im Stile Ramanujans.

(Gemeinsam mit der AG Gruppentheorie)

Die Existenz eines Notizbuchs von Karl von Staudt mit persönlichen, familiären, pädagogischen und mathematischen Notizen ist seit 50 Jahren bekannt. Nachdem es anläßlich einer Tagung über von Staudts Geometrie wieder zugänglich geworden ist, konnte es inzwischen weitgehend entziffert werden. Die Notizen stammen aus den Jahren 1826 bis 1832 während von Staudts Tätigkeit als Gymnasiallehrer in Würzburg und Nürnberg. Es wird eine Übersicht über die Inhalte des Notizbuchs und ihre Beziehungen zur zeitgenössischen Mathematik gegeben.

Der Beweis der Fermatschen Vermutung von A.Wiles beruht auf dem Beweis der Vermutung von Taniyama-Shimura-Weil, nach der jede über den rationalen Zahlen definierte elliptische Kurve modular ist. Ich möchte in diesem Vortrag eine elementar gehaltene Einführung in die Modularität von algebraischen Varietäten geben. Am Ende möchte ich einige neue Beispiele von starren und nicht-starren modularen Calabi-Yau Varietäten vorstellen.

Let $G$ be a finite dimensional Lie algebras over an algebraically closed field $k$ of characteristic 0. Let $G(i)$, where $i$ runs over the integers, be a $Z$-grading of $G$. An element $e$ of $G(2)$ is called good if the following properties hold:\\ a) $ad(e)$ is an injective map from $G(i)$ to $G(i+2)$ for all $i\le -1$,\\ b) $ad(e)$ is a surjective map from $G(i)$ to $G(i+2)$ for all $i\ge -1$.\\ A $Z$-grading of $G$ is called good if it admits a good element. We'll talk about the classification of all good $Z$-gradings of simple Lie algebras.

Inhalt: Das Gebiet der endlichen Geometrie - und damit auch das Teilgebiet Designtheorie - befindet sich in keinem befriedigenden Zustand. Es gibt viele interessante Einzelresultate, aber diese stehen oft isoliert da und allgemeine, tiefliegende Sätze sind selten. Man kann stets mit erheblichen Fortschritten rechnen, wenn es gelingt hochentwickelte Theorien, wie die Gruppentheorie oder die Zahlentheorie, auf die diskrete Geometrie anzuwenden. Wir diskutieren Auswirkungen der Klassifikation der endlichen, einfachen Gruppen auf die Designtheorie, speziell auf symmetrische Designs. Als endliche Strukturen sind Designs ein ideales Objekt für Computerexperimente. In diesem Zusammenhang spreche ich über die Rolle von Invarianten bei der Bestimmung von Isomorphie von Designs oder der Berechnung der Automorphismengruppe eines Designs.

Signifikante Ziffern in numerischen Daten sind, sofern die zu Grunde liegenden Datensaetze nur ausreichend gross und verschiedenen sind, nicht gleichmaessig verteilt. Vielmehr trifft man verblueffend oft auf ein und dieselbe logarithmische Verteilung. Dieser empirische Sachverhalt, nach seinem (Wieder-)Entdecker oft als Gesetz von Benford (Benford's Law, BL) bezeichnet, ist unter statistischen und mathematischen Gesichtspunkten eingehend untersucht worden. Relativ neu jedoch ist das Studium dynamischer Systeme unter dem Blickwinkel von BL. Es ist sehr einfach, dynamische Systeme zu konstruieren, welche BL gehorchen. Fuer einige Zeit unklar war dagegen, ob - von ad-hoc konstruierten Beispielen abgesehen - reichhaltigere Klassen (diskreter oder kontinuierlicher) dynamischer Systeme die BL zu Grunde liegende logarithmische Mantissenverteilung zeigen. Der Vortrag versucht zu erlaeutern, warum die Antwort auf diese Frage ueberraschend positiv ausfaellt: Unter sehr milden Bedingungen erweist sich BL als DIE universelle Verteilung signifikanter Ziffern schlechthin. Die Argumentation beruht dabei auf einer interessanten Mischung deterministischer und probabilistischer Techniken, eine Tatsache, welche umgekehrt eine differenziertere Einschaetzung der mathematischen Substanz von BL ermoeglichen sollte. Fuer klassische "chaotische" Systeme kann die Gueltigkeit von BL nicht erwartet werden. Diese Tatsache sowie eine Reihe interessanter, damit teilweise zusammenhaengender offener Fragen werden gleichfalls besprochen.

Signifikante Ziffern in numerischen Daten sind, sofern die zu Grunde liegenden Datensaetze nur ausreichend gross und verschiedenen sind, nicht gleichmaessig verteilt. Vielmehr trifft man verblueffend oft auf ein und dieselbe logarithmische Verteilung. Dieser empirische Sachverhalt, nach seinem (Wieder-)Entdecker oft als Gesetz von Benford (Benford's Law, BL) bezeichnet, ist unter statistischen und mathematischen Gesichtspunkten eingehend untersucht worden. Relativ neu jedoch ist das Studium dynamischer Systeme unter dem Blickwinkel von BL. Es ist sehr einfach, dynamische Systeme zu konstruieren, welche BL gehorchen. Fuer einige Zeit unklar war dagegen, ob - von ad-hoc konstruierten Beispielen abgesehen - reichhaltigere Klassen (diskreter oder kontinuierlicher) dynamischer Systeme die BL zu Grunde liegende logarithmische Mantissenverteilung zeigen. Der Vortrag versucht zu erlaeutern, warum die Antwort auf diese Frage ueberraschend positiv ausfaellt: Unter sehr milden Bedingungen erweist sich BL als DIE universelle Verteilung signifikanter Ziffern schlechthin. Die Argumentation beruht dabei auf einer interessanten Mischung deterministischer und probabilistischer Techniken, eine Tatsache, welche umgekehrt eine differenziertere Einschaetzung der mathematischen Substanz von BL ermoeglichen sollte. Fuer klassische "chaotische" Systeme kann die Gueltigkeit von BL nicht erwartet werden. Diese Tatsache sowie eine Reihe interessanter, damit teilweise zusammenhaengender offener Fragen werden gleichfalls besprochen.

Das Thema dieses Vortrags ist durch die folgende allgemeine Problemstellung motiviert: Man betrachte eine bestimmte Art von K\örpern (z.B. algebraisch abgeschlossen, lokal, endlich erzeugt) sowie alle (glatten, geometrisch zusammenh\ängenden) Kurven eines bestimmten vorgegebenen Geschlechts \über diesen K\örpern. Gibt es dann unter diesen Körpern und Kurven eine Kurve $C$ \über einem K\örper $K$, die einen unendlichen Turm $\longrightarrow C_i \longrightarrow \cdots \longrightarrow C$ nicht-trivialer unverzweigter \Überlagunerungen besitzt, so dass jeweils $C_i$ eine (glatte, \emph{geometrisch zusammenh\ängende}) Kurve \über $K$ ist und die \Überlagerungen $C_i \longrightarrow C$ Galoissch sind? \par Im Vortrag wird der Fall von Geschlecht $2$ Kurven \über endlich erzeugten K\örpern betrachtet. Es wird gezeigt, dass es f\ür jede ungerade Primzahl $p$ eine nicht-konstante (nicht-isotriviale) Geschlecht 2 Kurve \über einem globalen K\örper der Charakteristik $p$ gibt, die so einen Turm besitzt. \par Der Vortrag beruht auf einer Zusammenarbeit mit G.\ Frey.

Nachdem sich diskrete Logarithmen-Systeme basierend auf elliptische Kurven auch in den Anwendungen etabliert haben, sind in den letzten Jahren auch deren Verallgemeinerungen verstärkt auf Interesse gestoßen. Hyperelliptische Kurven kleinen Geschlechts haben wie elliptische Kurven den Vorteil, dass kein subexponentiellen Algorithmen zur Lösung des diskreten Logarithmus Problems bekannt sind und daher Gruppenordnungen von schon ca. 160 Bit ausreichende Sicherheit bieten. Dies ist für die Implementierung - besonders auf Chipkarten - interessant. In diesem Vortrag beleuchten wir kurz Kryptosysteme auf hyperelliptischen Kurven und gehen dann auf die Nutzung von Spur-Null Untervarietäten ein. Hier betrachten wir die Vorteile dieser Konstruktion, dass nämlich die Gruppenordnung einfach zu bestimmen ist und skalare Vielfache schneller bestimmt werden können als auf Jacobischen Varietäten von hyperelliptischen Kurven. Hierzu liefern wir Laufzeiten an und geben eine Sicherheitsanalyse nach Ergebnissen von Diem und Scholten.

Aspects of a dynamical system D on a finite connected graph A will be focused on. D describes the motion of a particle traversing edges of A in equal time-1 steps. Bi-infinite sequences of consecutive edges are the elements of the phase space of D. The time Z acts by a left shift on these sequences. A rule $\ei_A$ is added, forbidding ($\ei_A(e)=1$) or allowing ($\ei_A(e)>1$) the particle to backtrack into specified edges $e$. An edge indexed graph $(A,\ei_A)$ is thus the ``route map'' where the dynamics takes place.

Vortrag im Rahmen der Reihe "Perspektiven in Algebra und Geometrie"\par Abstrakt. Es ist ziemlich genau 100 Jahre her, daß Issai Schur seine Arbeit über die Darstellungstheorie der invertierbaren n x n Matrizen veröffentlichte. Etwa zur gleichen Zeit führte Alfred Young die (später so nach ihm benannten) Young Tableaus ein, die ein wichtiges kombinatorisches Werkzeug in der Darstellungstheorie wurden. Sie kommen in den Arbeiten von Littlewood und Weyl vor, in den 70er Jahren tauchen sie in den Arbeiten von Lascoux und Schützenberger (Jeu de Taquin) auf, und in den 90er Jahren kommen sie in im Zusammenhang mit Quantengruppen und kristallinen Basen vor. In dem Vortrag werden wir auf einige der Aspekte der Tableaus eingehen und wir werden aufzeigen, wie man mit Hilfe von Gebäuden, Apartment, Galerie usw., zumindest einige dieser Aspekte auch auf beliebige reduktive algebraische Gruppen verallgemeinern kann, und was diese Kombinatorik mit der Geometrie der affinen Graßmannvarietät zu tun hat.

Torische Residuen sind Verallgemeinerungen des klassischen Begriffs "Grothendieck-Residue". In dem Vortrag werden einige Anwendungen der torischen Residuen in der Mirrorsymmetrie für Calabi-Yau Hyperflächen in torischen Varietäten vorgestellt.

(Gemeinsam mit AG Gruppentheorie)

Wir betrachten zwei Brownsche Bewegungen im $d$-dimensionalen Raum ($d=2$ oder $d=3$), die im selben Punkt gestartet werden und eine Zeiteinheit lang laufen. Die Schnittmenge $S$ der Pfade dieser beiden Brownschen Bewegungen hat die Hausdorffdimension $4-d$. Wir wollen nun die Punkte aus $S$ betrachten, wo $S$ lokal besonders dünn ist, wo also lokal die Dimension größer als $4-d$ ist. Wir finden, dass für ein gewisses Intervall von Werten $a \geq 4-d$ tatsächlich Punkte der lokalen Dimension $a$ existieren, und wir können, in Abhängigkeit von $a$, die Dimension der Menge dieser Punkte ausrechnen. Die Dimensionsformel benutzt die so genannten Intersektionsexponenten der Brownschen Bewegung, die für $d=2$ in Bahn brechenden Arbeiten von Lawler, Schramm und Werner kürzlich genau bestimmt wurden.

Mathematische Modelle zu vielen Anwendungsproblemen aus Natur und Technik führen auf Systeme von Konvektions-, Diffusions- Reaktionsgleichungen, wobei die Konvektion, manchmal auch noch die Reaktion, dominant sind. Die größte Herausforderung für die numerische Behandlung solcher Systeme besteht in der Verbesserung der Genauigkeit und der Effektivität numerischer Algorithmen. Eines der wirkungsvollsten Mittel hierzu ist die dynamische, lokale Gitterverfeinerung, basierend auf Fehlerindikatoren. Für gewisse Modellprobleme kann man rigorose Fehlerschätzer beweisen. Für die komplexen Anwendungsprobleme lassen sich hieraus Ideen für Fehlerindikatoren entwickeln. Im Vortrag werde ich die Theorie zur Herleitung der zugehörigen theoretischen Ergebnisse und die Verallgemeinerung auf Beispiele aus dem Bereich Verbrennung, Motorströmung, Strömung durch poröse Medien und Strömungen von elektrisch leitenden Flüssigkeiten (in der Sonnenatmosphäre), sowie weitere Beschleunigungstechniken darstellen.

Betrachtet man bei räumlichen verteilten, zufällig verzweigenden Populationen in regenerativer zufälliger Umgebung zunächst nur die mittleren lokalen Populationsgrößen, bedingt auf das Feld der Kinderzahlverteilungen, so erhält man ein Modell, das als sogenanntes gerichtetes Polymer in zufälliger Umgebung aus der statistischen Physik bekannt ist. Wir referieren zunächst alte und neuere Ergebnisse über gerichtete Polymere in zufälliger Umgebung. Weiterhin gewinnen wir ein verschärftes Kriterium für "`schwache Unordnung"' mittels einer stochastischen Darstellung für die Größenverzerrung der Zustandssumme; diese Technik ist bekannt aus der Theorie der klassischen räumlichen Verzweigungsprozesse. Schließlich stellen wir uns der Frage, was diese Resultate über die Eigenschaften von räumlichen Verzweigungsprozessen in regenerativer zufälliger Umgebung aussagen.

The aim of this talk is to present an overview, addressed to an audience of mathematicians with diverse scientific interests, of both classical and contemporary aspects of the theory of spherical harmonics. Although the spherical harmonics (from a slightly different perspective they are described as homogeneous harmonic polynomials) have made their appearance in mathematics already through the work of Legendre and Laplace, they remain to be not only a very useful tool, but also a object of an active study, still revealing a multitude of connections with branches of modern mathematics and being capable of variety of different interpretations. The present talk will concentrate on the connections of spherical hamonics with the harmonic analysis on euclidean spaces, notably with the Fourier transformation and the theory of representations of groups.

Die Poisson-Stokes-Gleichungen kompressibler viskoser Strömungen und ihre Numerik sind im Vergleich zu den Navier-Stokes-Gleichungen inkompressibler Fluide bislang nur wenig untersucht worden. Im Vortrag werden neue Approximationsverfahren für die stationären Poisson-Stokes-Gleichungen vorgestellt, die aus einer vereinfachten konstruktiven Existenz- und Eindeutigkeitstheorie hervorgegangen sind, auf einer Iteration zwischen einem verallgemeinerten Oseen-Problem und einer hyperbolischen Transportgleichung basieren und die stabile und genaue numerische Simulation kompressibler viskoser Strömungen auf einem grossen Bereich von Revnolds- und Mach-Zahlen ermöglichen. Dies wird insbesondere durch Multilevel-Stabilisierungen sowohl im Funktionenraum der Lösung als auch auf der diskreten Finite-Elemente-Ebene erreicht. Die Effizienz und Robustheit der Verfahren wird durch Finite-Elemente-Fehlerabschätzungen abgesichert und anhand numerischer Experimente illustriert.

Die Existenz seltsamer nicht-chaotischer Attraktoren (SNA) für quasiperiodisch getriebenen Abbildungen hat großes Interesse an diesen Systemen hervorgerufen. Dennoch gibt es bisher nur wenige mathematisch rigorose Ergebnisse zur Existenz und zu den Eigenschaften dieser Objekte. Eine bisher noch offene Frage ist zum Beispiel, ob der topologische Abschluß eines SNA faserweise aus genau einem Intervall besteht oder nicht. Dies soll im Rahmen des Vortrags für eine spezielle Klasse von Systemen beantwortet werden, die sich auch schon für den Existenznachweis von SNA als sehr günstig erwiesen haben (sogenannte "Pinched Skew Products").

In 1956 the Dutch graphic artist Maurits Cornelis Escher (1898–1972) made an unusual lithograph with the title Prentententoonstelling. It shows a young man standing in an exhibition gallery, viewing a print of a Mediterranean seaport. As his eyes follow the quayside buildings shown on the print from left to right and then down, he discovers among them the very same gallery in which he is standing. A circular white patch in the middle of the lithograph contains Escher’s monogram and signature. What is the mathematics behind Prentententoonstelling? Is there a more satisfactory way of filling in the central white hole? We shall see that the lithograph can be viewed as drawn on a certain elliptic curve over the field of complex numbers and deduce that an idealized version of the picture repeats itself in the middle. More precisely, it contains a copy of itself, rotated clockwise by 157.6255960832 degrees and scaled down by a factor of 22.5836845286.

Es wird eine in Zusammenarbeit mit C. Liverani (Rom) entwickelte neue Beweismethode vorgestellt, die es erlaubt, Eindeutigkeit und Mischungseigenschaften des SRB-Maßes endlich-dimensionaler Gitter schwach gekoppelter chaotischer dynamischer Systeme herzuleiten. Die Methode basiert auf Abschätzungen des Transferoperators und ist ueberraschend elementar und flexibel anwendbar. Im ersten Teil illustriere ich sie anhand einfacher stochastischer Systeme (z.B. stochastische Automaten mit schwacher Wechselwirkung), im zweiten Teil wird sie dann auf dynamische systeme angewandt.

Es wird ein Anderson Modell auf einem Streifen studiert und die zugehörige Lokalisierungslänge perturbativ im ungeordneten Potential berechnet, und insbesondere die Abhängigkeit von der Streifenbreite untersucht. Dies ist eine Störungsrechnung fuer den kleinsten Lyapunov Exponenten von zufälligen Produkten grosser symplektischer Matrizen. Der perturbative Ausdruck und insbesondere dessen Energieabhängigkeit stimmen hervorragend mit numerischen exakten Resultaten überein, und dies für erstaunlich grosse Werte des Kopplungsparameters.

Es sollen Kongruenzen zwischen Heckeeigenwerten von Siegelschen und klassischen Modulformen diskutiert werden. Fuer diese Kongruenzen gibt es theoretische Gruende, aber ich habe keinen Beweis. Es gibt aber ueberzeugende numerische Daten. Diese Kongruenzen haben interessante arithmetische Konsequenzen.

Dieser Vortrag is dem von Dawson und Greven entwickelten Renormalisierungsverfahren für linear wechselwirkenden Diffusionsprozessen auf der hierarchischen Gruppe im lokalen Mittelfeldlimes gewidmet. Im ersten Abschnitt werden wir uns mit der allgemeinen Theorie für Systeme mit kompakten endlichdimensionalen Komponenten beschäftigen. Zur Sprache kommen neben rigorose Resultate auch numerische Simulationen und Vermutungen, die unter anderem auch Aussagen für das Gitter $Z^2$ treffen. Nach der Pause werde ich dann zeigen wie Klaus Fleischmann (Berlin) und ich hoffen einige von diesen Vermutungen für den Spezialfall von katalytischen Wright-Fisher-Diffusionen zu beweisen mit Hilfe eines ziemlich komplizierten Branchingprozesses und der Technik der eingebetteten Teilchensysteme.

Vorgestellt werden rigorose Aussagen über energetische und dynamische Eigenschaften eines Quantenteilchens in der euklidischen Ebene unter dem Einfluss eines dazu senkrechten zufälligen Magnetfelds mit (Gauss'scher Statistik und) nicht verschwindendem Mittelwert. Dabei wird zur Vereinfachung angenommen, dass die Realisierungen fast sicher nur von einer der beiden kartesischen Koordinaten für die Ebene abhängen. Die Aussagen sind gewisse "zufällige Analoga" von IWATSUKA's Ergebnissen aus dem Jahr 1985 (vergl. z.B. das Buch über Schrödinger-Operatoren von CYCON, FROESE, KIRSCH und SIMON)

For an Euclidean domain, Salisbury and Verzani derived certain representations for super-Brownian motion with quadratic branching, conditioned in terms of its exit measure. They showed that this can be described as a martingale change of measure and provided an equivalent construction via a tree like back bone along which mass immigrated.\par In this talk we shall start with a review of conditioning and literature on Exit measures on super-Brownian motion with quadratic branching and discuss the case of $\psi$-super Brownian motion where the tree like backbone is different. Time permitting we will discuss degenerate conditionings that lead to blow ups of various quantities.\par This is joing work with Tom Salisbury.

I will discuss the edge and bulk conductances for 2D quantum Hall systems in which the Fermi energy falls in a band where bulk states are localized. An appropriate definition of the edge conductance may be obtained by including a contribution from states in the localized band. When this contribution is included the edge and bulk conductances are equal. Furthermore the contribution is essential, as it may be shown to be non-zero for the Harper Hamiltonian with Cauchy randomness.

Einstein's kinetic theory of the Brownian motion, based upon light water molecules continuously bombarding the heavy pollen, provided an explanation of diffusion from the Newtonian mechanics. Since the discovery of quantum mechanics it has been a challenge to verify the emergence of diffusion from the Schrödinger equation. In this talk I will report on a mathematically rigorous derivation of a diffusion equation as a long time scaling limit of a random Schrödinger equation in a weak, uncorrelated disorder potential This is a joint work with M. Salmhofer and H.T. Yau.

Stochastic convolution integrals in Hilbert spaces arise, if linear and semilinear stochastic partial differential equations are studied by means of semigroup methods. To mimic procedures used in finite-dimensional stochastic analysis, estimates of Burkholder-Gundy-Davis type are needed. Unfortunately, such estimates are known for (local) martingales, whilst stochastic convolutions need not be even semimartingales. The lecture will be devoted to a recent approach to this problem based on unitary dilations and Zygmund's extrapolation theorem which yields the desired estimates in a straightforward way.

In seinen wegweisenden Arbeiten über die Hartshorne-Frankel Vermutung und über extremale Kontraktionen zeigte S. Mori, dass jede komplex-projektive Mannigfaltigkeit, deren antikanonisches Bündel nicht nef ist, rationale Kurven enthält. Viele interessante Mannigfaltigkeiten sind sogar von rationalen Kurven überdeckt. Heute ist bekannt, dass die Geometrie dieser Kurven viel über den umgebenden Raum selbst aussagt. Bei Anwendungen tritt aber häufig die Frage auf, wie singulär rationale Kurven vom minimalen Grad sein können. Ich möchte in meinem Vortrag eine Einführung in dieses Thema geben, ein Resultat über die Singularitäten rationaler Kurven vorstellen und etwas über die aktuellen Anwendungen sagen.

Es wird anhand eines Beispieles erlaeutert, was topologische Invarianten in quantenmechanischen Systemen sind und wie sie zu messbaren Groessen fuehren koennen. Hierzu wird der Randstrom eines magnetischen Operators auf einer Halbebene berechnet und mit einer nicht-kommutativen Windungszahl in Verbindung gebracht. Mithilfe (nicht-kommutativer) Differentialtopologie kann diese Windungszahl durch den Index eines Fredholmoperators berechnet werden, analog zum klassischen Gohberg-Krein Index Theorem.

Höhenfunktionen bilden ein grundlegendes Werkzeug der diophantischen Geometrie, um Endlichkeitssätze zu beweisen. Wir diskutieren die Faltings-Höhe elliptischer Kurven und ihren Zusammenhang zu arithmetischen Eigenschaften der komplexen Hodge-Zerlegung.

Reinforcement is observed frequently in nature and society, where beneficial interactions tend to be repeated. Edge reinforced random walker on a graph remembers the number of times each edge was traversed in the past, and decides to make the next random step with probabilities favouring places visited before. Using martingale techniques and comparison with the generalized Urn scheme, it can be shown that the edge reinforced random walker on a graph of bounded degree, with the {\em reinforcement weight function} $W(k) = k^\rho,\,\rho > 1$, traverses a random {\em attracting} edge at all large times, with probability $1$. A remarkably short argument of Sellke (1994) shows that attracting edge exists if and only if $\sum_k \frac{1}{W(k)}<\infty$, whenever underlying graph has no odd cycle. The conjecture that the above summability condition implies existence of attracting edge when the underlying graph is a {\em triangle} is still open. Progress has been made recently towards better understanding of attracting edge property for a large class of weights $W$ satisfying the above condition.

Motivated by the study of the Born-Oppenheimer approximation for molecular collisions, we consider the scattering theory of a simplier model: a semiclassical matrix Schrödinger operator. We give a condition that ensures that certain semiclassical resolvents estimates hold true. These resolvents estimates are useful to perform semiclassical computations in scattering theory that justify the Born-Oppenheimer approximation. Furthermore, these resolvents estimates essentially exclude resonance phenomenum in the scattering process.

Der von Kingman 1982 eingeführte Coalescentprozess unterliegt den meisten gegenwärtigen Modellen für Genealogien in der Populationsgenetik. In seiner ursprünglichen Form ist der Prozess allerdings ungeeignet, den Einflu\ss~ von Selektion auf Genealogien zu modellieren, da ihm die Annahme von Austauschbarkeit der Individuen zugrunde liegt. Im Falle von Wettbewerb und Selektion besitzen jedoch bestimmte Individuen/Gene einen Reproduktionsvorteil gegenüber anderen. Dieser Vortrag soll einen Überblick über Verallgemeinerungen des Coalescentprozesses für verschiedene Arten von Selektion geben.

We consider a random walk on the support of a stationary simple point process on R^d, d>1, which satisfies a mixing condition w.r.t. the translations. Furthermore the point process is furnished with independent random bounded energy marks. The transition rates of the random walk decay exponentially in the jump distances and depend on the energies through a factor of the Boltzmann-type. This is an effective model for the phonon-induced hopping of electrons in disordered solids within the regime of Anderson localization. We show that the rescaled random walk converges to a Brownian motion whose diffusion coefficient is bounded below by Mott's law for the hopping conductivity in disordered solids. The proof of the lower bound involves estimates for the supercritical regime of an associated site percolation problem.

The mathematical analysis of models of particles moving randomly in disordered environments has been very active over the last thirty years. It has uncovered a number of surprising effects and mathematical challenges. We will discuss some of these effects and challenges in this lecture which is aimed at a general mathematical audience.

The Brownian Web (BW) is a family of coalescing Brownian motions starting from every point in space and time $\R\times\R$. It was first introduced by Arratia, and later analyzed in detail by T\'{o}th and Werner. More recently, Fontes, Isopi, Newman and Ravishankar gave a characterization of the BW and general convergence criteria allowing either crossing or noncrossing paths, which they verified for coalescing simple random walks. Later Ferrari, Fontes, and Wu verified these criteria for a two dimensional Poisson Tree. In both cases, the paths are noncrossing. To date, the general convergence criteria of FINR have not been verified for any case with crossing paths, which appears to be significantly more difficult than the noncrossing paths case. Accordingly,in this work, we formulate new convergence criteria for the crossing paths case, and verify them for non-simple coalescing random walks satisfying a finite fifth moment condition. Several corollaries are presented, including an analysis of the scaling limit of voter model interfaces that extends a result of Cox and Durrett.

Wir betrachten eine Familie von zweidimensionalen Flächen $(\Gamma(t))_{t \in [0,T]}$, welche der Evolutionsgleichung für den Willmore--Fluß genügen, d.h. $V = \Delta_{\Gamma}H + \frac{1}{2} H^3 - 2 HK$ auf $ \Gamma(t)$. Dabei bezeichnen $V$ die Normalengeschwindigkeit, $H$ die mittlere Krümmung und $K$ die Gauß-Krümmung von $\Gamma(t)$. Für Flächen $\Gamma(t)$, die sich als Graph über einem Gebiet $\Omega \subset \Rz^2$ schreiben lassen, also $\Gamma(t) ={(x,u(x,t)):, x \in \Omega}$, führt obige Evolutionsgleichung auf eine parabolische Differentialgleichung vierter Ordnung für die Funktion $u$. Es stellt sich heraus, dass diese Gleichung eine Variationsformulierung besitzt, welche aus zwei Problemen zweiter Ordnung besteht, sofern man mit den beiden Variablen $u$ und $H \, \sqrt{1+ | \nabla u |^2}$ arbeitet. Diese Formulierung läßt sich in natürlicher Weise zur Diskretisierung mittels der Finite--Elemente--Methode verwenden. Ziel des Vortrags ist es, das numerische Verfahren herzuleiten und die wesentlichen Ideen der Fehleranalyse darzustellen. Darüber hinaus sollen Ergebnisse von Testrechnungen gezeigt werden. Hierbei handelt es sich um eine gemeinsame Arbeit mit G. Dziuk (Freiburg).

Wir berichten ueber Monotonie-und Mittelwertformeln fuer verschiedene geometrische Evolutionsgleichungen. Beispiele solcher Gleichungen sind der mittlere Kruemmungsfluß, der Fluß zu harmonischen Abbildungen sowie der Riccifluß von Metriken.

Galaxien werden in der Astrophysik oft durch das Vlasov-Poisson-System modelliert. Wir untersuchen die nichtlineare Stabilität von Gleichgewichtslösungen dieses Systems, indem wir letztere als minimierende Elemente von Energie-Casimir-Funktionalen konstruieren, die weder konvex noch positiv definit sind. Das zugehörige Variationsproblem wird über ein reduziertes Funktional gelöst, dessen Minimierer ihrerseits stabile Gleichgewichtslösungen des Euler-Poisson-Systems sind, welches zur Modellierung von Sternen verwendet wird.

In dem Vortrag soll exemplarisch anhand der Arbeiten von Derksen und Weyman, Reineke, Maffei und Chirivi über die enge Verquickung zwischen Darstellungstheorie und Geometrie berichtet werden.

Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten gehören seit einigen Jahren zu den am meisten untersuchten Varietäten. Ein Grund hierfür ist, dass sie eine wichtige Rolle in der Physik, insbesondere der Stringtheorie, spielen. Andererseits sind Calabi-Yau Varietäten eine natürliche Verallgemeinerung von elliptischen Kurven, deren Arithmetik ein zentrales Themat der Zahlentheorie ist. In letzter Zeit wurde daher auch die Arithmetik von Calabi-Yau Varietäten eingehend untersucht. Durch Arbeiten von Candelas et al. wurde sogar ein Zusammenhang zwischen Stringtheorie einerseits und arithmetischen Fragen andererseits hergestellt. Ziel des Vortrages ist es, über einige neuere Entwicklungen auf diesen Gebieten zu berichten.

Ich werde über eine gemeinsame Arbeit mit H.H. Rugh sprechen, in der wir reell-analytische 2:1 Kreisabbildungen konstruieren, die isolierte Eigenwerte außerhalb des essentiellen Spektrums haben.

This talk has two parts, one is settled in stochastics, in particular in the theory of large deviations for Brownian motions, the other one is devoted to applications for systems of interacting Bosons in trapping potentials. We introduce two probabilistic models for $N$ interacting Brownian motions moving in a trap in $ \mathbb{R}^d $ under mutually repellent forces. The two models are defined in terms of transformed path measures on finite time intervals under a trap Hamiltonian and two respective pair-interaction Hamiltonians. The first pair interaction exhibits a particle repellency, while the second one imposes a path repellency. In the stochastics part wee analyse both models in the limit of diverging time with fixed number $ N $ of Brownian motions. In particular, we prove large deviations principles for the normalised occupation measures. The minimisers of the rate functions are related to the Hamilton operator for a system of $ N $ interacting trapped particles. More precisely, in the particle-repellency model, the minimiser is its ground state, and in the path-repellency model, the minimisers are its ground product-states. This study is a contribution to the search for a mathematical formulation of the quantum system of $ N $ trapped interacting bosons as a model for Bose-Einstein condensation, motivated by the success of the famous 1995 experiments. Recently, Lieb et al.~described the large-$N$ behaviour of the ground state in terms of the well-known Gross-Pitaevskii formula, involving the scattering length of the pair potential. We prove that the large-$N$ behaviour of the ground product-states is also described by the Gross-Pitaevskii formula, however with the scattering length of the pair potential replaced by its integral. This result is interesting in mathematical physics, because, actually, the $L^{1} $-norm represents the first Born approximation of the scattering length of the interaction potential.

In der Medizin werden oft zwei- oder dreidimensionale Aufnahmen des selben Objektes zu unterschiedlichen Zeiten oder mit unterschiedlichen Aufnahmetechniken (z.B. CT und MR) gemacht. Die so gewonnenen Daten müssen nun "registriert" werden, d.h. eine Abbildung muss gefunden werden, die die Datensätze in ein gemeinsames Koordinatensystem überführt. Diese Abbildung kann starr oder nicht-starr sein. Ziel ist es dabei, eine Abbildung zu finden, die möglichst ähnliche Werte aufeinander abbildet, oder die die Mutual Information maximiert. Das dabei entstehende Optimierungsproblem besitzt nur wenig ausgeprägte Maxima und erfordert meist eine vorherige Grobregistrierung. Für nicht-starre Registrierung ist außerdem der Suchraum groß. In dem Vortrag werden Arbeiten auf dem Gebiet und die dabei aufgetretenen Optimierungsprobleme beschrieben.

Die kantenverstärkte Irrfahrt wurde 1986 von Persi Diaconis eingeführt. Noch stets sind viele Fragen über den Prozess offen, so z.B. die Frage nach dem Rekurrenz- bzw. Transienzverhalten in allen Dimensionen $\ge 2$. In den letzten Jahren wurden in Zusammenarbeit mit F. Merkl neue Methoden zum Studium der kantenverstärkten Irrfahrt auf ${\mathbb{Z}}\times\{1,2,\ldots,d\}$ entwickelt. Dabei wird ausgenutzt, dass der Prozess auf jedem endlichen Graphen dieselbe Verteilung hat wie eine Irrfahrt in einer zufälligen Umgebung (jedoch mit einer komplizierten Abhängigkeitsstruktur). Die zufällige Umgebung wird mit Methoden der statistischen Mechanik untersucht. Diese neuen Techniken erlauben es, Rekurrenz und Grenzwertsätze für die kantenverstärkte Irrfahrt auf Leitern zu beweisen.

Der Vortrag gibt einen Überblick über aktuelle Entwicklungen im Bereich der numerischen Simulation und Optimierung strömungsmechanischer Probleme. Insbesondere werden Fragen der Zuverlässigkeit und Effizienz der entsprechenden numerischen Methoden im Vordergrund stehen. Verschiedene Verfahrenskomponenten zur Diskretisierung, Lösung und Optimierung werden diesbezüglich diskutiert und charakteristische Effekte werden anhand von konkreten Anwendungsbeispielen aufgezeigt.

Numerische Simulationsverfahren wie FEM und CAD haben sich als alltägliche Ingenieurwerkzeuge bewährt. Während der Entwicklung eines neuen Produktes sind üblicherweise viele wiederholte Simulationsläufe notwendig, um die geforderte Produktqualität zu erzielen. Es müssen dabei verschiedene Varianten entwickelt und miteinander verglichen werden. Die Methoden der Strukturoptimierung unterstützen bei der Ziel gerichteten Entscheidung. Sie helfen die Entwicklungszeit bei gleichzeitig besseren Ergebnissen zu reduzieren und die Qualität des Produktes gegenüber alternativen Entwürfen abzusichern. Wie jede anspruchsvolle Technologie setzt auch die Strukturoptimierung bei den Anwendern fundiertes Wissen über die Hintergründe und Prinzipien voraus, damit das ganze Potenzial genutzt werden kann. Die spezielle Herausforderung resultiert aus der Kombination von CAD, FEM und mathematischen Optimierungsmethoden, wie z.B. der nichtlinearen Programmierung. Der Vortrag wird in die wesentlichen Grundbegriffe und Grundzüge einführen und auf wichtige Anwendungsgebiete der Strukturoptimierung eingehen.

Zusammenfassung: Die Gross-Pitaevskii-Formel wurde Anfang der 1960er Jahre als ein Modell für Kondensationsphänomene bei Temperatur Null eingeführt. Vor wenigen Jahren identifizierten Lieb, Seiringer und Yngvason diese Formel als die korrekte Approximation eines interagierenden Partikelsystems für große Partikelzahl. In diesen Arbeiten wurde insbesondere eine mathematische Erklärung der Bose-Einstein-Kondensation bei Temperatur Null in einem Spezialfall gegeben. Um ein Modell für positive Temperatur zu erhalten, ersetzt man die Wellenfunktion durch das Aufenthaltsmass interagierender Brownscher Bewegungen. Sowohl im Grenzwert für große Partikelzahl als auch für kleine Temperaturen sollten interessante Variationsformeln entstehen, die von physikalischer Bedeutung sind (aktuelles Projekt mit Stefan Adams, Leipzig, und Jean-Bernard Bru, Mainz). In meinem Vortrag erläutere ich einige der Zusammenhänge sowie den Stand der Untersuchungen.

The main part of the lecture will be a short survey on the theory of chaos of a topological dynamical system $(X,f)$ given by a continuous selfmap $f$ of a compact metric space $X$. It's also planned to speak about a new subject in topological dynamics - functional envelope. If $(X,f)$ is a dynamical system given by a compact metric space $X$ and a continuous map $f:X\to X$ then by the functional envelope of $(X,f)$ we mean the dynamical system $(S(X), F_f)$ whose phase space $S(X)$ is the space of all continuous selfmaps of $X$ and the map $F_f: S(X) \to S(X)$ is defined by $F_f(\varphi) = f \circ \varphi$ for any $\varphi \in S(X)$. Our motivation for the study of dynamics in functional envelopes comes from the semigroup theory, from the theory of functional difference equations and from dynamical systems theory. We mainly deals with the connection between the properties of a system and the properties of its functional envelope.

Vortrag im Rahmen der Reine "Perspektiven in Algebra und Geometrie"\par In dem Vortrag möchte ich über neue algebraische Methoden in Geometrie und Visualisierung berichten. Ausgangspunkt sind Sichtbarkeitsprobleme mit bewegten Kamerapunkten, die beispielsweise bei der Visualisierung von Kristallstrukturen mittels Kugelmodellen auftreten. Diese algorithmischen Fragen führen auf grundlegende Probleme der (reelen) algebraischen Geometrie, die die gemeinsamen Tangenten zu vorgegebenen Körpern sowie die effektive Behandlung von Kurven und Flächen im dreimensionalen Raum betreffen. In dem Vortrag wird ein Einblick in die, vom Dozenten mitenwickelten, reell-algebraischen und computerorientierten Methoden gegeben sowie die Verbindung zu der, in jüngster Zeit entstandenen tropischen Geometrie hergestellt. In dem Vortrag soll exemplarisch anhand der Arbeiten von Derksen und Weyman, Reineke, Maffei und Chirivi über die enge Verquickung zwischen Darstellungstheorie und Geometrie berichtet werden.

Unterscheiden von Ursache und Wirkung anhand statistischer Daten: Gibt die Komplexität bedingter Verteilungen Hinweise auf die Wirkungsrichtung? Die Korrelationen zwischen zwei Zufallsvariablen X und Y sagen nichts darüber aus, ob X die Ursache von Y ist oder umgekehrt. Die Verteilung auf drei Variablen erlaubt jedoch z.B. die Unterscheidung zwischen den Kausalstrukturen X ---> Z <---Y und X <--- Z ---> Y. Auf n Variablen gibt die so genannte kausale Markoff-Bedingung an, welche Ursache-Wirkungs-Graphen mit einer gegebenen Verteilung verträglich sind. Leider liefert diese immer mindestens n! verschiedene gerichtete azyklische Graphen als potenzielle Kausalstrukturen. Ich werde berichten, welche Kriterien in der Literatur beschrieben werden, mit deren Hilfe sich besonders naheliegende Kausalstrukturen auswählen lassen, möchte aber auch die Grenzen dieser Methoden andeuten. Als Ergänzung werde ich eigene Ansätze zur Unterscheidung von Ursache und Wirkung vorstellen. Unsere Methode beruht, grob gesagt, auf der Idee und der Hoffnung, dass die bedingten Verteilungen P(Wirkung | Ursache_1, Ursache_2, ... , Ursache_n) typischerweise `glatter' sind als z.B. P(Ursache_1 | Wirkung, Ursache_2, ... , Ursache_n). Experimente an realen Daten sowie thermodynamische Gedankenexperimente sollen zeigen, dass die Hoffnung nicht völlig unbegründet ist. -- Die dabei verwendeten `Glattheitskrtiterien' möchte ich gerne zwecks Weiterentwicklung zur Diskussion stellen.

Die Spuren von Potenzen von Zufallsmatrizen konvergieren fast sicher gegen die Momente der Halbkreisverteilung. Dies ist fuer hermitische Matrizen ein klassisches Resultat von Wigner und wurde inzwischen fuer ein sehr grosses Ensemble bewiesen. Nun wird gezeigt, dass die zugehoerigen Fluktuationen Gauss'sch sind. Der Beweis basiert nicht auf der Genus-Entwicklung von Harer und Zagier, welche nur fuer GOE und GUE gilt. Die Kovarianzmatrix wird dann mit kombinatorischen Mitteln diagonalisiert, die einen Zusammenhang zwischen den Tchebychev Polynomen und bestimmten Partitionen ausnutzten. Fuer konkrete Modelle koennen die Kovarianzen berechnet werden. Dies ist eine gemeinsame Arbeit mit J. Schenker.

Der thermodynamische Formalismus, der ursprünglich im Rahmen der theoretischen Physik entwickelt wurde, bildet heutzutage ein Hauptinstrument bei der Untersuchung geometrischer und ergodentheoretischer Aspekte dynamischer Systeme. Ein Hauptgegenstand dieser Theorie ist der topologische Druck - ein Funktional mit dessen Hilfe sich eine ganze Reihe charakteristischer Größen von Observablen eines dynamischen Systems quantifizieren lassen. Wichtige Beispiele solcher Charakteristiken sind Entropie, Lyapunov-Exponenten, fraktale Dimensionen und multifraktale Spektren. Für hyperbolische dynamische Systeme konnten Rufus Bowen und David Ruelle fundamentale Zusammenhänge zwischen dem topologischen Druck und den periodischen Punkten eines Systems aufzeigen aber auch mit Hilfe des Drucks Attraktionseigenschaften und Hausdorff-Dimension invarianter Mengen bestimmen. In meinem Vortrag werde ich Verallgemeinerungen einer Reihe der genannten Ergebnisse auf nicht-uniform hyperolische Systeme präsentieren.

We will discuss recent results on analytic Schrodinger cocycles at small couplings, with applications including the dry version of Ten Martini problem and 1/2-Holder continuity of the integrated density of states for Diophantine frequencies. We will also sketch a proof of Cantor spectrum for the almost Mathieu operator for all conjectured values of the parameters (the Ten Martini problem). This is a report on joint work with Artur Avila.

Wir betrachten wechselwirkende Fellerdiffusionen mit zusätzlichem konkaven Driftterm. Dies ist ein Modell, dessen Dynamik gegeben wird durch Migration zwischen den Inseln des \Z^d, superkritischer Verzweigung und Konkurrenzkämpfen auf jeder Insel. Untersucht wird die Existenz eines oberen invarianten Maßes und die Konvergenz des Prozesses gegen dieses Gleichgewicht. Des Weiteren untersuchen wir ein Mean Field Modell, um die Frage zu beantworten, bei welchen Parametern kein nichttriviales Gleichgewicht existiert.

Das Kochen-Specker-Theorem zeigt, dass es Phasenraummodelle der Quantentheorie -- auch Modelle mit versteckten Variablen genannt -- nicht geben kann. Fasst man die Observablenalgebra eines Quantensystems als eine von Neumann-Algebra R auf, so war das Kochen-Specker-Theorem bisher nur für Faktoren vom Typ I bewiesen, also für den Fall R=L(H). Im ersten Teil des Vortrags zeigen wir einen neuen, nicht-kombinatorischen Beweis, der die Situation für alle unitalen von Neumann-Algebren klärt. Dabei spielt der Satz von Gleason eine entscheidende Rolle. Im zweiten Teil werden Stonesche Spektren von Neumannscher Algebren sowie die darauf definierten antonymen und observablen Funktionen eingeführt. Es wird gezeigt, wie man damit einem Phasenraumbild doch wieder näher kommt.

In this talk, we will consider contact processes on general countable groups, which includes the usual d-dimensional integer lattice, regular trees, and more. We will see that the expected number of sites has a well-defined exponential growth rate, which is closely tied to how the process looks as seen from a typical (`Palmed') infected site at a typical late time. In particular, if the process grows subexponentially, as is for example the case on the usual integer lattice, we will prove that the process as seen from a typical infected site converges, as time tends to infinity, to the upper invariant measure conditioned on the origin being infected.

In der Streutheorie von n wechselwirkenden Teilchen nennt man eine Anfangsbedingung asymptotisch vollständig, wenn die asymptotischen Geschwindigkeiten der Teilchen als Limiten existieren. Das ist in der Himmelsmechanik nicht immer der Fall. Es wird eine Einführung in die Techniken der Streutheorie gegeben.

Zeiten und Vorträge entnehmen Sie bitte dem Programm; \par Die Vorträge finden am 02.12.2005 und 03.12.2005 statt.

Im Vortrag wird das Zwei-Ebenen-Optimierungsproblem formuliert und dann werden einige prinzipielle Gedanken zu möglichen Herangehensweisen bei der Herleitung von Optimalitätsbedingungen dargelegt. Danach werden verschiedene Optimalitätsbedingungen beschrieben: Zunächst solche, die den Bouligand-Kegel an den zulässigen Bereich der Zwei-Ebenen-Optimierungsaufgabe verwenden und danach Optimalitätsbedingungen, die auf der Anwendung des Kodifferentials im Sinne von Mordukhovich basieren.

In einer idealen Population konstanter Größe haben alle Individuen einen gemeinsamen Vorfahren (MRCA) in der Vergangenheit. Irgendwann in der Zukunft wird es einen neuen MRCA geben. Doch wann wird dieser Zeitpunkt sein und wie lange zurück wird der zukünftige MRCA gelebt haben? Ist er heute vielleicht sogar noch gar nicht geboren? Alle diese Fragen können mit Hilfe von Kingman's Coalescenten und dem Lookdown-Prozess beantwortet werden. Diese Ergebnisse entstanden in Zusammenarbeit mit Anton Wakolbinger.

In der Theorie des fraktionierten Quanten-Hall-Effekts spielt eine 1983 von R.B.Laughlin vorgeschlagene Funktion eine wichtige Rolle. Diese gilt allgemein als gute Naeherung an den Grundzustand von repulsiv wechselwirkenden Elektronen im Magnetfeld in einer Ebene und wurde an verschiedene Geometrien angepasst, darunter den Zylinder. Es besteht die Vermutung, dass der thermodynamische Limes auf dem Zylinder eine Brechung der Translationssymmetrie aufweist. Dies soll fuer eine modifizierte Laughlinfunktion bewiesen werden. Ferner wird auf eine Verbindung zu einem verwandten Ergebnis fuer eindimensionale Coulombsysteme hingewiesen.

Es sollen auf einem $Z^d$-Shiftraum invariante Wahrscheinlichkeitsmaße untersucht werden, die das Integral über eine reelwertige Funktion $\psi$ minimieren. Dazu soll ein Zugang über minimierende Konfigurationen gewählt werden, den Gerhard Keller bereits im Sommersemester vorgestellt hat. Es soll nun ein Funktionenraum von $\psi$s entwickelt werden, auf den dieser Ansatz anwendbar ist.

Auf Mannigfaltigkeiten beschränkter Geometrie betrachten wir Schrödinger-Operatoren H=(d+iA)^*(d+iA)+V mit singulären (lokal messbaren) Potentialen V. Es wird bewiesen, dass die entsprechende Resolvente R(z)=(H-z)^{-1}, die Potenzen der Resolvente R(z)^a=(H-z)^{-a}, die Schrödinger-Halbgruppe e^{-tH} und einige andere verwandte Operatoren stetige Integralkerne besitzen. Einige L^p-Abschätzungen für diese Integralkerne, insbesondere für den Wärmeleitungskern, und für die Eigenfunktionen von H werden gegeben. Wir beschreiben auch das asymptotische Verhalten der Greenschen Funktion G(x,y;z) (des Integralkerns von R(z)) wenn der Abstand d(x,y) klein ist, und zeigen, dass diese Asymptotik im allgemeinen vom magnetischen Vektorpotential A sowie vom Skalarpotential V abhängt und mit der entsprechenden Asymptotik für den Laplace-Operator nicht übereinstimmt. Anwendungen zur Theorie von Nullradiuspotentialen werden besprochen.

In meinem Vortrag werde ich diskutieren, ob zwei verschiedene Riemannsche Metriken auf einer geschlossenen Mannigfaltigkeit die gleichen Geodätischen haben können, und welche Riemannschen Mannigfaltigkeiten Diffeomorphismen zulassen, die Geodätische erhalten.

Der $\Lambda$-Coalscentprozess ist ein Markovprozess mit Werten in den Partitionen von ${\mathbb N}.$ Die Partitionen vereinen sich hierbei mit einer Rate, die durch ein Mass~ $\Lambda$ auf $[0,1]$ gegeben ist. Anders als beim Kingman Coalscentprozess können sich auch mehr als zwei Partitionen zu einer neuen Partition vereinen. In diesem Vortrag, betrachten wir einen räumlichen $\Lambda$-Coalescentprozess, bei dem die Partitionen in einem (endlichen) Raum migrieren und sich nur mit Partitionen vereinen können, die sich am selben Ort befinden. Wir geben Bedingungen an, unter denen die Anzahl der Partitionen in endlicher Zeit endlich wird. Dieser "Herunterkommen vom Unendlichen" ist in gewissem Sinne gleichmässig in der Anzahl der Raumpunkte. Dies erlaubt es uns, das asymptotische Verhalten des Prozesses auf dem Gittertorus für Dimension $d\geq 3$ zu studieren: Auf Zeitskalen von der Ordnung der Torusvolumen verhält sich der Prozess wie ein (nicht-räumlicher) Kingman Coalscentprozess.

Wenn man eine u.i.v. Folge von "Buchstaben" gemäß einem unabhängigen Erneuerungsprozess in "Wörter" zerschneidet, so erhält man eine u.i.v. Folge von Wörtern, und bekanntermaßen werden die großen Abweichungen solcher Folgen auf dem "Prozess-Niveau" durch die spezifische relative Entropie beschrieben. Wir studieren das Problem der großen Abweichungen der empirischen Wortfolge bedingt auf die darunterliegende Buchstabenfolge und die Beziehung der bedingten Ratenfunktion zur spezifischen relativen Entropie. Solche bedingten großen Abweichungs-Probleme ergeben sich natürlicherweise beim Studium von ungeordneten Systemen mit ausgezeichneter "Zeitrichtung", beispielsweise gerichteten Polymeren in zufälliger Umgebung oder zufälligen Heteropolymeren an Grenzflächen.

We present an adaptive finite element algorithm for segmentation with denoising of multichannel images. It is based on a level set formulation of the Mumford-Shah approach proposed by Chan and Vese. The aim is to find homogeneous regions $\Omega^i$ and their boundaries $\Gamma$ inside a given, possibly noisy image g : $g:\Omega [0, 1]^{N_c}$ and a piecewise smooth approximation $u$ to $g$ such that $u$ is smooth inside the segments $\Omega^i$ but may jump across the boundary $\Gamma$. Due to the heat equation like diffusion of the classical Mumford-Shah method, possible edges and details inside the segments will be blurred and eventually lost. To avoid this, we propose a slightly changed functional which leads to a TV like denoising inside the segments, hence is able to keep more details and edges while it is still denoising. The presented algorithm is able to switch between both methods such allowing a direct comparision of them and an easy adaption of the denoising properties to the actual given situation. Several numerical results including a test for convergence to a known solution, minimal partition of 3D images and a comparision of the denoising qualities of different approaches are presented.

Durch Minimierung des Funktionals \[\int_N \sqrt{g(\tau)} |{\rm det}D\tau| du\, dv\mbox{ , } B=\{(u,v): u^2+v^2<1\}\] in der Klasse $C(\Gamma)$ der Abbildungen $\tau\in H^{1,2}(B,R^2)$, die $\partial B$ stetig und monoton auf den Rand $\Gamma =\partial \Omega$ eines Jordangebietes abbilden, wird ein Diffeomorphismus von $\bar{B}$ auf $\bar{\Omega}$ gewonnen, der $(\bar{B}, ds_e)$ konform auf $(\bar{\Omega}, ds)$ abbildet, wobei $ds^2_e = du^2 + dv^2$ und $ds^2 = g_{jk}(x)dx^jdx^k$ ist. Dies liefert die Riemannsche Version des Riemannschen Abbildungssatzes zusammen mit der Osgood-Carath´eodory-Erweiterung auf die Randabbildung. Wir streifen die Verallgemeinerung auf mehrfach zusammenh\ängende Gebiete und auf das Plateauproblem f¨ur Cartanfunktionale \[F(X) := \int_B F(X,X_u\wedge X_v) du\, dv\] mit einer Lagrangefunktion $F(x, z)$, die positiv homogen von erster Ordnung in $z$ ist.

Punctured Holomorphic Curves in Symplectic Geometry}\\[2mm] Holomorphic curves have been the main tool in symplectic geometry ever since their introduction by Gromov in 1985. Gromov originally considered holomorphic curves defined on compact Riemann surfaces, possibly with boundary. Since then, punctured holomorphic curves (defined on punctured Riemann surfaces with suitable asymptotic conditions) have become increasingly important. They first entered symplectic geometry through the work of Floer and Hofer around 1990, and were formalized as 'symplectic field theory' by Eliashberg, Givental and Hofer in 2000. In this talk I will describe the different types of holomorphic curves in symplectic geometry and illustrate their use by various examples.

First, we briefly review the literature on one particular class of combinatorial optimization problems, the multiple objective minimum cost flow problem. Based on this literature review, we develop a method for generating representations of the nondominated set which fulfil certain quality features. Quality aspects exist in the literature already; however, they gained only little attention. The algorithm for generating the representation utilizes a variant of the well-known e-constraint method. In the e-constraint method, a single objective combinatorial optimization problem has to be solved with an additional knapsack side constraint, which is in general difficult. We propose an exact solution method for solving combinatorial objective problems with a knapsack side constraint. This presentation is partly based on joint research with Horst W. Hamacher, TU Kaiserslautern, and Christian Pedersen, University of Aarhus, Denmark.

Der allgemeine Deutsche Automobilclub (ADAC) unterhält eine heterogene Flotte von Pannenfahrzeugen, die bis vor kurzem über Hilfszentralen durch Disponenten manuell den hilfesuchenden Autofahrern zugeordnet wurden. Um den Anforderungen durch wachsendendes Pannenvolumen und steigenden Kosten zu genügen, wurde die Disposition automatisiert. In dem Vortrag wird das System der Dispositionsplanung vorgestellt, das ein Online-Problem mit Echtzeitanforderungen darstellt. Ein Teilproblem, das bei der Lösung auftritt, betrifft die Erzeugung geeigneter Startlösungen. Dazu wurde ein polynomialer Approximationsalgorithmus entwickelt, der sich gerade in der Testphase befindet.

In the first lecture, we will recall Sobolev, Poincare und Hardy inequalities and prove the L^\infty to L^p bound for weak solutions with Moser iteration. In the second lecture, we prove the L^p-inf Harnack inequalites and the Hoelder continuity of the weak solutions of elliptic equations. In the third lecture, we use generalized Hardy inequalities and the Moser iteration in order to approximate Laplace eigenfunctions on a compact manifold with suitable harmonic polynomials. We derive also estimates for the rate of blow-up of the curvature as it approaches the isolited singularity of an analytic hypersurface.

The transition from individual to collective movement can be observed in various biological contexts. One can think of a system with a large number of interacting individuals. One question is which individual behavior leads to the collective effect of swarming. Such effects have been studied with macroscopic and microscopic approaches using different methods varying from discrete time lattice models to continuous models in space and time. In this talk I want to introduce a stochastic interacting particle system approach in the sense of Thomas M. Liggett "Interacting Particle Systems" (Springer, New York 1985). The key assumptions of the model are a multidimensional lattice, point-like individuals that possess an orientation and a set of transition rates that model the time evolution of the system. The model allows two types of local transitions (updates). An individual may rotate ore move (translate) to an unoccupied neighboring node. The family of transition rates controls the transitions of the system and adds the probabilistic part. One challenging question is to characterize the equilibrium states of the system. I will present few results that are based on simulations . Further I want to describe some ideas and give an outlook on possible analytical results concerning the equilibrium states.

second part

Viele Besucher betrachten verblüfft die vielen Exponate und erproben selbst die ausgeklügelten Experimente der Austellung " Mathematik zum Anfassen" im Mathematikum. Herr Prof. Dr. Beutelsbacher erläutert, Was hinter den Experimenten steckt und welche Grundideen das Konzept des Museums zeigen kann.

Workshop on the occasion of Hans Strauß' 65th birthday. For details see http://www.am.uni-erlangen.de/am1/events/events.html

We review some recent progress on the rigorous study of the one-dimensional ferromagnetic quantum Heisenberg model. In the first part we discuss ferromagnetic ordering of energy levels which is an analogue of the famous Lieb-Mattis Theorem (1962) for anti-ferromagnets. In the second part we demonstrate how a one-dimensional magnetic domain wall (realized as a ground state) is transported along a slowly moving time dependent magnetic field. All this is joint work with T. Michoel, B. Nachtergaele, and S. Starr.

We discuss the two term asymptotic expansion of the ground state energy of neutral matter as a function of the number of electrons. The problem can be reduced to a semi-classical analysis of an effective one-body Schroedinger operator. To this end, we introduce a new method of coherent states which we will explain in some detail. All this is joint work with J.P. Solovej.

second part of the talk

The talk presents a new algorithm based on the Mumford-Shah model for simultaneously detecting the contour features of two images and jointly estimating a consistent set of transformations to match them. With respect to the current asymmetrical method in the literature, this fully symmetric method allows to determine one-to-one correspondences between the contour features of two images. The entire variational model is realized in a multi-scale framework of the finite element approximation. The optimization process is guided by an EM type algorithm and an adaptive generalized gradient flow to guarantee a fast and smooth relaxation. The algorithm is tested on T1 and T2 magnetic resonance image data to study the parameter setting. We also present encouraging results of three applications of the proposed algorithm: inter-object mono-modal registration, retinal images registration and matching digital photographs of neurosurgery with its volume data.

For the semiclassical Schrödinger operator with smooth long-range potential, it is well known that the boundary values of its resolvent at a positive energy E are bounded by O(1/h) (h being the semiclassical parameter) if and only if the associated Hamilton flow is non-trapping at energy E. Here, we extend this result to the case where Coulomb singularities are allowed. Since the Hamilton flow is not complete, in general, we replace it by an appropriate regularization (With Francois Castella and Thierry Jecko).

In this talk, a class of trust-region methods is presented for solving unconstrained nonlinear and possibly nonconvex discretized optimization problems, like those arising in systems governed by partial differential equations. The algorithms in this class make use of the discretization level as a mean of speeding up the computation of the step. This use is recursive, leading to true multilevel/multiscale optimization methods reminiscent of multigrid methods in linear algebra and the solution of partial-differential equations. First and second-order convergence properties of this class of algorithms will be outlined and preliminary numerical experience will be described on a small set of multilevel nonlinear optimization problems. (This is joint work with S. Gratton and Ph. Toint)

Eine interessante Modifikation der Rekonstruktionsverfahren in der Röntgen-Computer-Tomographie (CT) wäre es, ein Verfahren zu entwickeln, welches zuerst das Objekt grob rekonstruiert und dann nur noch die interessanten Stellen mit den Detail-Informationen auffüllt. Dies würde eine enorme Rechenzeitersparnis ermöglichen. Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, solch ein Verfahren theoretisch herzuleiten und dieses anhand von CT-Daten zu testen.

Die freie Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein recht junges und zur Zeit sehr aktives Teilgebiet der Mathematik; sie wurde von Dan Voiculescu mit dem Ziel entwickelt, gewisse nichtkommutative Algebren, inspiriert durch stochastische Methoden, zu verstehen. Bald entdeckte Voiculescu, dass die freie WTheorie auch Klassen von wichtigen Zufallsmatrizen beschreibt, und die Ergebnisse der freien WTheorie unter anderem die Berechnung von Eigenwertverteilungen von solchen Zufallsmatrizen ermoeglichen. Durch diesen Zusammenhang findet die freie WTheorie zur Zeit immer mehr Interesse in angewandten Gebieten, insbesondere bei Statistikern (Wishart Matrizen) und Elektro-Ingenieuren (drahtlose Kommunikation). In dem Vortrag werde ich versuchen eine Idee von typischen Fragestellungen und Ergebnissen der freien WTheorie zu geben; dabei werde ich mich im wesentlichen auf den Zusammenhang mit Zufallsmatrizen und den von mir entwickelten kombinatorischen Zugang zur freien WTheorie konzentrieren.

Die quantenmechanische Beschreibung der Atome und Moleküle von Born, Heisenberg, Jordan und Schrödinger ist unvollständig, da sie die Wechselwirkung mit Licht (Strahlung) vernachlässigt. Insbesondere kann diese Quantenmechanik den Strahlungszerfall angeregter Atome nicht erklären; dazu müssen die Regeln der Quantenelektrodynamik (QED) herangezogen werden, welche aber zur Zeit noch eines rigorosen mathematischen Rahmens entbehren. In diesem Vortrag wird, nach einem kurzen historischen Exkurs, eine vereinfachte Form der QED vorgestellt, von welcher man erwarten darf, dass sie die wichtigsten Phänomene der Licht-Materie Wechselwirkung zumindest qualitativ zu reproduzieren vermag. Im Anschluss werden neuere mathematische Resultate in diesem Zusammenhang präsentiert.